szeregi funkcyjne

Nasza ocena:

3
Pobrań: 91
Wyświetleń: 1589
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
szeregi funkcyjne - strona 1

Fragment notatki:


Informacje zawarte w pliku to: ciąg sum cząstkowych, zbieżność szeregu funkcyjnego, twierdzenie Cauchy`ego zbieżności szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa, twierdzenie o ciągłości sumy szeregu, twierdzenie o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego.
Dodatkowo twierdzenie o całkowaniu szeregu funkcyjnego.
Notatka to bardzo dobra pomoc do zrozumienia teoretycznej strony zagadnienia jakim są szeregi.

Szeregi funkcyjne
Niech X – zbiór,          Y ,∣⋅∣  - przestrzeń unormowanaoraz niech ∀ n∈ℕ    f : X Y ,n
      S : X Y .Definicjan
Ciąg S n n∈ℕ sum cząstkowychS :=∑ f nazywamy szeregiem funkcyjnymnkk=1

i oznaczamy ∑ f .nn=1Definicje zbieżności szeregu funkcyjnego

1) ∑ f nazywamy zbieżnym punktowo do funkcji S  :⇔ ciąg jego sum cząstkowychnn=1S
  X Sn
zmierza punktowo do funkcji S na zbiorze X , tzn.  S
n n∞

2) ∑ f nazywamy zbieżnym jednostajnie do funkcji  S  :⇔ ciąg  S nn n∈ℕ jest n=1X
  zbieżny jednostajnie na zbiorze X do S , tzn.  SSnn ∞


3)  ∑ f nazywamy zbieżnym bezwzględnie :⇔ ∑∥ f ∥ jest zbieżny punktowo, tzn.nnn=1n=1n
  jest zbieżny punktowo ciąg  S *n
, gdzie  S *:=∑n∈ℕ
∥f ∥.nkk=1Uwaga


1) ∑ f - zbieżny jednostajnie ⇒ ∑ f jest zbieżny punktowo.nnn=1n=1


2) ∑ f - zbieżny bezwzględnie ⇒ ∑ f jest zbieżny punktowo.nnn=1n=1
3)   Nie ma bezpośredniego związku między zbieżnością bezwzględną i jednostajną.
- 1 -Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)
∞X
1) ∑ f jest zbieżny punktowo (bezwzględnie) ⇒f    0 , tzn. funkcją graniczną nn n∞n=1
            ciągu   f n n∈ℕ jest funkcjaf ≡0
∞X
2) ∑ f jest zbieżny jednostajnie ⇒fnn
0  n=1n ∞Twierdzenie (WKW Cauchy'ego zbieżności szeregu funkcyjnego)Niech X  – zbiór          Y ,∥⋅∥ - przestrzeń Banacha
oraz niechf : X Yn
dla n∈ℕ.
Wtedy
∞n
1)  ∑ f - zbieżny punktowo na X   ⇔ ∀ x∈X  ∀0   ∃n  ∀ nmn  ∥∑ f x∥n
0
0kn=1k=m
∞n
2)  ∑ f - zbieżny jednostajnie na X ⇔ ∀0   ∃n  ∀ nmn  ∀ x∈X  ∥∑ f x∥n
0
0kn=1k=mTwierdzenie (kryterium Weierstrassa)Niech X  – zbiór          Y ,∥⋅∥ - przestrzeń Banacha
oraz niechf : X Yn
dla n∈ℕ.
Jeśli

∀ n∈ℕ  ∀ x∈ X   ∥f xn
∥≤an oraz ∑ a −szereg zbieżny,nn=1
to

∑ f −zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.nn=1Dowód1) Sprawdzamy WKW Cauchy'ego zbieżności jednostajnej:n
∀ 0   ∃n   ∀ nmn   ∀ x∈ X  ∥∑ f x∥.
0
0kk =m
- 2 -n
Niech  0 oraz niech ∑ a  . Wtedykk=mnnn
               ∥∑ f x∥≤∑∥f x∥≤∑ a .kkkk=mk=mk=m
         
∞n
ℝ−zupełna
Ponieważ szereg  ∑ a jest zbieżny

 ciąg  S =∑ a  spełnia warunek Cauchy'ego   ⇒nnnn=1k=1n
⇒   ∃ N :   ∀ nmN   ∣S −S
∣  ⇔   ∃ N :    ∀ 

(…)

…, więc na
n
n=1 n
n1

sin nx
jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w ℝ .
podstawie kryterium Weierstrassa, ∑
2
n
n 1
Zauważmy, że
Konsekwencją twierdzeń o ciągłości funkcji granicznej oraz o przejściach do granicy przy
różniczkowaniu i całkowaniu ciągów funkcyjnych są następujące twierdzenia:
-4-
Twierdzenie (o ciągłości sumy szeregu)
Niech X – przestrzeń metryczna
Y – przestrzeń unormowana
∀ n∈ℕ f n…
… Szeregi funkcyjne
Niech X – zbiór,
 Y ,∣⋅∣ - przestrzeń unormowana
oraz niech ∀ n∈ℕ f n : X  Y ,
S : X Y .
Definicja
n
Ciąg S n n∈ℕ sum cząstkowych S n :=∑ f
k=1
k
nazywamy szeregiem funkcyjnym

i oznaczamy
∑ f n.
n=1
Definicje zbieżności szeregu funkcyjnego

1)
∑ fn
nazywamy zbieżnym punktowo do funkcji S :⇔ ciąg jego sum cząstkowych
n=1
X
S n zmierza punktowo do funkcji S na zbiorze X…
….
Jeśli
∀ n∈ℕ ∀ x∈ X
∥ f n  x∥≤a n

oraz
∑ a n−szereg zbieżny,
n=1
to

∑ f n −zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.
n=1
Dowód
1) Sprawdzamy WKW Cauchy'ego zbieżności jednostajnej:
∥∑ ∥
n
∀ 0 ∃ n0 ∀ nmn0 ∀ x∈ X
-2-
k =m
f k  x .
k =m
f k  x 
n
Niech
∑ a k 
0 oraz niech
. Wtedy
k=m
∥∑ ∥ ∑ ∥
n
n
k =m
f k  x ≤
k =m

Ponieważ szereg
∑ an
jest zbieżny
n
f k  x∥≤ ∑ a k .
k =m
n
ℝ−zupełna…
… kryt. porównawczego


∑ ∥ f n  x∥−zbieżny
n=1
n=1

n=1
Zatem ∀ x∈ X szereg

n=1
∑ ∥ f n  x∥ jest zbieżny ⇒ ∑ f n−zbieżny bezwzględnie.

Uwaga

Szereg
∑ an
występujący w twierdzeniu Weierstrassa nazywamy majorantą liczbową
n=1

szeregu funkcyjnego
∑ fn
.
n=1
Przykład*

Zbadać zbieżność szeregu funkcyjnego
∑ xn
dla x∈ℝ .
n=1
n
n
Musi być spełniony WK zbieżności punktowej ∥x ∥=∣x∣ n∞ 0…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz