Informacje zawarte w pliku to: ciąg sum cząstkowych, zbieżność szeregu funkcyjnego, twierdzenie Cauchy`ego zbieżności szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa, twierdzenie o ciągłości sumy szeregu, twierdzenie o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego.
Dodatkowo twierdzenie o całkowaniu szeregu funkcyjnego.
Notatka to bardzo dobra pomoc do zrozumienia teoretycznej strony zagadnienia jakim są szeregi.
Szeregi funkcyjne
Niech X – zbiór, Y ,∣⋅∣ - przestrzeń unormowanaoraz niech ∀ n∈ℕ f : X Y ,n
S : X Y .Definicjan
Ciąg S n n∈ℕ sum cząstkowychS :=∑ f nazywamy szeregiem funkcyjnymnkk=1
∞
i oznaczamy ∑ f .nn=1Definicje zbieżności szeregu funkcyjnego
∞
1) ∑ f nazywamy zbieżnym punktowo do funkcji S :⇔ ciąg jego sum cząstkowychnn=1S
X Sn
zmierza punktowo do funkcji S na zbiorze X , tzn. S
n n∞
∞
2) ∑ f nazywamy zbieżnym jednostajnie do funkcji S :⇔ ciąg S nn n∈ℕ jest n=1X
zbieżny jednostajnie na zbiorze X do S , tzn. SSnn ∞
∞
∞
3) ∑ f nazywamy zbieżnym bezwzględnie :⇔ ∑∥ f ∥ jest zbieżny punktowo, tzn.nnn=1n=1n
jest zbieżny punktowo ciąg S *n
, gdzie S *:=∑n∈ℕ
∥f ∥.nkk=1Uwaga
∞
∞
1) ∑ f - zbieżny jednostajnie ⇒ ∑ f jest zbieżny punktowo.nnn=1n=1
∞
∞
2) ∑ f - zbieżny bezwzględnie ⇒ ∑ f jest zbieżny punktowo.nnn=1n=1
3) Nie ma bezpośredniego związku między zbieżnością bezwzględną i jednostajną.
- 1 -Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)
∞X
1) ∑ f jest zbieżny punktowo (bezwzględnie) ⇒f 0 , tzn. funkcją graniczną nn n∞n=1
ciągu f n n∈ℕ jest funkcjaf ≡0
∞X
2) ∑ f jest zbieżny jednostajnie ⇒fnn
0 n=1n ∞Twierdzenie (WKW Cauchy'ego zbieżności szeregu funkcyjnego)Niech X – zbiór Y ,∥⋅∥ - przestrzeń Banacha
oraz niechf : X Yn
dla n∈ℕ.
Wtedy
∞n
1) ∑ f - zbieżny punktowo na X ⇔ ∀ x∈X ∀0 ∃n ∀ nmn ∥∑ f x∥n
0
0kn=1k=m
∞n
2) ∑ f - zbieżny jednostajnie na X ⇔ ∀0 ∃n ∀ nmn ∀ x∈X ∥∑ f x∥n
0
0kn=1k=mTwierdzenie (kryterium Weierstrassa)Niech X – zbiór Y ,∥⋅∥ - przestrzeń Banacha
oraz niechf : X Yn
dla n∈ℕ.
Jeśli
∞
∀ n∈ℕ ∀ x∈ X ∥f xn
∥≤an oraz ∑ a −szereg zbieżny,nn=1
to
∞
∑ f −zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.nn=1Dowód1) Sprawdzamy WKW Cauchy'ego zbieżności jednostajnej:n
∀ 0 ∃n ∀ nmn ∀ x∈ X ∥∑ f x∥.
0
0kk =m
- 2 -n
Niech 0 oraz niech ∑ a . Wtedykk=mnnn
∥∑ f x∥≤∑∥f x∥≤∑ a .kkkk=mk=mk=m
∞n
ℝ−zupełna
Ponieważ szereg ∑ a jest zbieżny
⇒
ciąg S =∑ a spełnia warunek Cauchy'ego ⇒nnnn=1k=1n
⇒ ∃ N : ∀ nmN ∣S −S
∣ ⇔ ∃ N : ∀
(…)
…, więc na
n
n=1 n
n1
∞
sin nx
jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w ℝ .
podstawie kryterium Weierstrassa, ∑
2
n
n 1
Zauważmy, że
Konsekwencją twierdzeń o ciągłości funkcji granicznej oraz o przejściach do granicy przy
różniczkowaniu i całkowaniu ciągów funkcyjnych są następujące twierdzenia:
-4-
Twierdzenie (o ciągłości sumy szeregu)
Niech X – przestrzeń metryczna
Y – przestrzeń unormowana
∀ n∈ℕ f n…
… Szeregi funkcyjne
Niech X – zbiór,
Y ,∣⋅∣ - przestrzeń unormowana
oraz niech ∀ n∈ℕ f n : X Y ,
S : X Y .
Definicja
n
Ciąg S n n∈ℕ sum cząstkowych S n :=∑ f
k=1
k
nazywamy szeregiem funkcyjnym
∞
i oznaczamy
∑ f n.
n=1
Definicje zbieżności szeregu funkcyjnego
∞
1)
∑ fn
nazywamy zbieżnym punktowo do funkcji S :⇔ ciąg jego sum cząstkowych
n=1
X
S n zmierza punktowo do funkcji S na zbiorze X…
….
Jeśli
∀ n∈ℕ ∀ x∈ X
∥ f n x∥≤a n
∞
oraz
∑ a n−szereg zbieżny,
n=1
to
∞
∑ f n −zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.
n=1
Dowód
1) Sprawdzamy WKW Cauchy'ego zbieżności jednostajnej:
∥∑ ∥
n
∀ 0 ∃ n0 ∀ nmn0 ∀ x∈ X
-2-
k =m
f k x .
k =m
f k x
n
Niech
∑ a k
0 oraz niech
. Wtedy
k=m
∥∑ ∥ ∑ ∥
n
n
k =m
f k x ≤
k =m
∞
Ponieważ szereg
∑ an
jest zbieżny
n
f k x∥≤ ∑ a k .
k =m
n
ℝ−zupełna…
… kryt. porównawczego
⇒
∞
∑ ∥ f n x∥−zbieżny
n=1
n=1
∞
n=1
Zatem ∀ x∈ X szereg
∞
n=1
∑ ∥ f n x∥ jest zbieżny ⇒ ∑ f n−zbieżny bezwzględnie.
Uwaga
∞
Szereg
∑ an
występujący w twierdzeniu Weierstrassa nazywamy majorantą liczbową
n=1
∞
szeregu funkcyjnego
∑ fn
.
n=1
Przykład*
∞
Zbadać zbieżność szeregu funkcyjnego
∑ xn
dla x∈ℝ .
n=1
n
n
Musi być spełniony WK zbieżności punktowej ∥x ∥=∣x∣ n∞ 0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)