analiza, szeregi potęgowe

1)Ciągi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna. Def.1. Ciągiem funkcyjnym (f n (x)) na zbiorze X nazywamy odwzorowanie, które każdej liczbie N przypisuje funkcję okresloną na tym zbiorze: N ɸ(X,R) Def.2. Ciąg funkcyjny (f n ) określony na zbiorze X jest zbieżny w pkt. X 0 X jeżeli ciąg liczbowy (f n (X 0 )) jest zbieżny czyli istnieje granica f n (x 0 ). Zbiór wszystkich punktów, których ciąg fun. jest zb. nazywamy obszarem zbieżności ciągu. Niech ten obszar będzie Y. Pozostałe punkty tworzą zbiór X-Y który nazywa się obszarem rozbieżności ciągu. Def.3. Móimy że ciag fun. (f n ) jest zbieżny punktowo do f-cji f na zbiorze X, co zapisujemy f n P f albo f n X f jeżeli dla każdego punktu x X zachodzi równość f n (x)=f(x) Funkcję f- granica punktowa ciągu funkcyjnego
f n X f df 0 =n 0 ( 0 :|f n (x)-f(x)|

(…)

… rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy:
Jeżeli ma rozwinięcie w szereg potęgowy: , to jest ono jednoznaczne, a współczynniki mają postać i nazywamy je współczynnikami Taylora/Maclairina dla =0.
Dow. Stąd wynika, że te współczynniki są jednoznaczne we wzorze Taylora.
21) Rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji elementarnych: str.104-tablice
…
…. (zbieżność jednostajna)- mówimy ze ciąg funkcyjny (fn) określony na zbiorze X jest zb. jednostajnie do f-cji f na zbiorze X i zapisujemy:
fn 2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) Twierdzenie o całkowalności sumy szeregu funkcyjnego:
Jeżeli zachodzą warunki 1,2,3 (nie wiem jakie).
Wtedy zachodzi równość: Dowód: 12) Szeregiem potęgowym o środku w i współczynnikach nazywamy szereg postaci: , gdy =0: .
Zbieżność…
…)Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest przedziałem (-R,R) z włączeniem lub wyłączeniem końców. Wewnątrz przedziału szereg jest zbieżny bezwzględnie. Ponad to na każdym z przedziałów [-r,r], r<R szereg ten jest zbieżny jednostajnie. Dla szeregów typu twierdzenia te są prawdziwe dla przedziałów: .
15) Ciągłość sumy szeregu potęgowego. (patrz 16)
16) Całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowych…
… rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy:
Jeżeli ma rozwinięcie w szereg potęgowy: , to jest ono jednoznaczne, a współczynniki mają postać i nazywamy je współczynnikami Taylora/Maclairina dla =0.
Dow. Stąd wynika, że te współczynniki są jednoznaczne we wzorze Taylora.
21) Rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji elementarnych: str.104-tablice
…
... zobacz całą notatkę