Ciągi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna

Nasza ocena:

5
Pobrań: 147
Wyświetleń: 1540
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ciągi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna - strona 1 Ciągi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna - strona 2 Ciągi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna - strona 3

Fragment notatki:


1)Ciągi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna. Def.1. Ciągiem funkcyjnym (f n (x)) na zbiorze X nazywamy odwzorowanie, które każdej liczbie N przypisuje funkcję okresloną na tym zbiorze: N ɸ(X,R)
Def.2. Ciąg funkcyjny (f n ) określony na zbiorze X jest zbieżny w pkt. X 0 X jeżeli ciąg liczbowy (f n (X 0 )) jest zbieżny czyli istnieje granica f n (x 0 ). Zbiór wszystkich punktów, których ciąg fun. jest zb. nazywamy obszarem zbieżności ciągu. Niech ten obszar będzie Y. Pozostałe punkty tworzą zbiór X-Y który nazywa się obszarem rozbieżności ciągu.
Def.3. Móimy że ciag fun. (f n ) jest zbieżny punktowo do f-cji f na zbiorze X, co zapisujemy f n P f albo f n X f jeżeli dla każdego punktu x X zachodzi równość f n (x)=f(x) Funkcję f- granica punktowa ciągu funkcyjnego
f n X f df 0 =n 0 ( 0 :|f n (x)-f(x)|

(…)

… je współczynnikami Taylora/Maclairina dla =0.
Dow. Stąd wynika, że te współczynniki są jednoznaczne we wzorze Taylora.
21) Rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji elementarnych: str.104-tablice

…]
i i monot. wtedy Bez dowodu.
5) Twierdzenie o całkowalności granicy ciągu funkcyjnego:
Niech f-granica w [a,b] Jeżeli 1). n=1,2,… 2). to oraz Dow. wykorzystujemy całkę dolną i górną Darboux , , = 6) Twierdzenie o różniczkowalności granicy ciągu funkcyjnego:
Niech Jeżeli: 1). i 2). to i Dow. (Stosujemy tw. o całk.gr.ciągu fun.) [a,x) a<x<b a<c<x
w każdym punkcie 7) Szeregi funkcyjne. Zbieżność jednostajna i punktowa szeregu funkcyjnego.
Def.1. Szereg zbieżny punktowo.
Def.2 Szereg zbieżny jednostajnie.
8) Kryterium Weierstrassa o zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego:
Dowód:
9) Twierdzenie o ciągłości sumy szeregu funkcyjnego:
Jeżeli:
a) b) to S(x) to funkcja ciągła na [a,b] czyli .
Dow:
a) b) 10) Twierdzenie o różniczkowalności sumy szeregu funkcyjnego:
Niech: Jeżeli:
a) b) c) Wtedy:
Dow. Twierdzenie…
…. (zbieżność jednostajna)- mówimy ze ciąg funkcyjny (fn) określony na zbiorze X jest zb. jednostajnie do f-cji f na zbiorze X i zapisujemy:
albo 2) Warunek jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego:
Tw. Ciąg funkcyjny (fn) jest zbieżny jednostajnie do f-cji f na zb.X ciąg liczbowy an gdzie zbieżny do zera.
Dow. Niech: i odwrotnie: Niech: ( ) czyli 3) Twierdzenie o ciągłości granicy ciągu funkcyjnego…
… je współczynnikami Taylora/Maclairina dla =0.
Dow. Stąd wynika, że te współczynniki są jednoznaczne we wzorze Taylora.
21) Rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji elementarnych: str.104-tablice

... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz