2. SZEREGI LICZBOWE I POTĘGOWE 2.1 DEFINICJE I PODSTAWOWE TWIERDZENIA Def. 2.1.1 (szereg, suma częściowa szeregu)
Niech ( a n ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg ( S n ) , gdzie S n = a 1 + a 2 + … + a n . Szereg taki oznaczamy przez . Liczbę a n nazywamy n -tym wyrazem, a liczbę S n n -tą sumą częściową tego szeregu.
Def. 2.1.2 (szereg zbieżny i rozbieżny, suma szeregu)
Mówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu ( S n ). Jeżeli albo , to mówimy, że szereg jest rozbieżny odpowiednio do - albo do . W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg.
Uwaga . Analogicznie można zdefiniować szereg , gdzie n 0 Z oraz jego sumę.
Fakt 2.1.3 (zbieżność szeregu geometrycznego)
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy . Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy: . Uwaga . Przyjmujemy tutaj, że .
Tw. 2.1.4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)
Jeżeli szereg jest zbieżny, to .
Uwaga . Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład ciągu . Mamy bowiem , ale szereg jest rozbieżny do . Powyższe twierdzenie zapisane w równoważnej postaci: jeżeli albo granica nie istniej, to szereg jest rozbieżny, stosujemy do uzasadniania rozbieżności niektórych szeregów.
2.2 KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW Tw. 2.2.1 (kryterium całkowe)
Niech funkcja gdzie n 0 N , będzie nierosnąca. Wówczas szereg jest zbieżny całka jest zbieżna.
Uwaga . Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie , spełnia oszacowanie:
.
Fakt 2.2.2 (zbieżność szeregów postaci )
Szereg .
Tw. 2.2.3 (Kryterium porównawcze)
1. 0 a n b n dla każdego n ≥ n 0 2. szereg jest zbieżny
szereg jest zbieżny. Uwaga . Jeżeli założenie 2 ma postać „szereg jest rozbieżny”, to w tezie otrzymamy: „szereg jest rozbieżny”.
Tw. 2.2.4 (kryterium ilorazowe)
Niech a n , b n 0 dla każdego n ≥ n 0 oraz niech , gdzie 0
(…)
…)
Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy zbiór:
.
Tw. 2.4.5 (o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli:
1. funkcja f ma na przedziale (x0 - δ, x0 + δ) pochodne dowolnego rzędu,
2. dla każdego x(x0 - δ, x0 + δ) spełniony jest warunek , gdzie
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f na przedziale [x0,x] lub [x,x0], to
dla każdego .
Uwaga. Zamiast założenia 2 powyższego twierdzenia można przyjąć, że:
dla każdego oraz dla każdego .
Szereg potęgowy występujący w tezie tego twierdzenia nazywamy szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x0. Gdy x0 = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
Tw. 2.4.6 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli dla każdego , gdzie δ > 0, to
dla n = 0, 1, 2, ... .
Fakt 2.4.7 (szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych)
Tw. 2.4.8…
… bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
Fakt 2.3.5 (sumy ważniejszych szeregów)
2.4. SZEREGI POTĘGOWE
Def. 2.4.1 (szereg potęgowy)
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0R nazywamy szereg postaci:
, gdzie xR oraz cnR dla n=0, 1, 2, ....
Uwaga. W tym paragrafie przyjmujemy, że . Liczby cn nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego.
Def. 2.4.2 (promień zbieżności szeregu potęgowego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)