To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 18
SZEREGI POTĘGOWE
Niech
fn : K ဧ x ႾႮ fn (x) = an (x-x0)n , (an)nN K
K - zbiór liczb zespolonych, lub rzeczywistych. W przypadku ogólnym an może być dowolnym ciągiem z przestrzeni Banacha.
DEFINICJA 18.1 ( SZEREG POTĘGOWY )
Szereg nazywamy szeregiem potęgowym o środku x0.
TWIERDZENIE 18.1 ( O ZBIEŻNOŚCI SZEREGU )
1Ⴐ Jeżeli szereg jest zbieżny dla x = x1 to szereg jest zbieżny bezwzględnie w kole K (x0, ცx1- x0ყ) ;
2Ⴐ Jeżeli szereg jest rozbieżny dla x = x2 to szereg jest rozbieżny w (dopełnienie koła K (x0, ცx2 - x0ყ) ;
Dowód:
Ad 1Ⴐ Z założeń jest zbieżny. Więc dla tego szeregu jest spełniony warunek konieczny , zatem .
Niech: x K (x0, ცx1 - x0ყ) პ ცx - x0ყ
(…)
… bezwzględnie w kole K (x0, ცx1- x0ყ) ;
2Ⴐ Jeżeli szereg jest rozbieżny dla x = x2 to szereg jest rozbieżny w (dopełnienie koła K (x0, ცx2 - x0ყ) ;
Dowód:
Ad 1Ⴐ Z założeń jest zbieżny. Więc dla tego szeregu jest spełniony warunek konieczny , zatem .
Niech: x K (x0, ცx1 - x0ყ) პ ცx - x0ყ< ცx1 - x0ყ მ .
Rozważmy: (1);
Zauważmy, że jest szeregiem geometrycznym o ilorazie , a z tego wynika, że szereg geometryczny…
…) ) - suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w swoim kole zbieżności K(x0,R).
TWIERDZENIE 18.3 ( O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI )
Z: ; R - promień zbieżności szeregu ;
T: Dowód
Z kryterium d'Alamberta : 1Ⴐ 0<ၬ<+Ⴅ Ponieważ szereg jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie dla , a rozbieżny dla , więc .
2Ⴐ ၬ = 0
Ⴝx-x0Ⴝၬ = 0 < 1 dla każdego xK.
Na podstawie kryterium d'Alamberta, szereg jest zbieżny…
…).
Można zauważyć, że f(k) (x0) = k! ⋅ ak , bo x nie występuje tylko w k-tym wyrazie.
Przypomnienie: ( WZÓR TAYLORA )
Z: Jeżeli f∈Cn+1 (U) ; U∈ot (x0) ; f : R→R ; x∈U
T: ;
gdzie , reszta Lagrange'a w rozwinięciu funkcji.
TWIERDZENIE 18.6 ( SZEREG TAYLORA )
Z: f∈C∞(U) ; U∈ot (x0) ; f : R→R ; .
T: - szereg Taylora
(rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy);
Jeżeli x0 = 0 w Tw. 18.6 i są spełnione wszystkie założenia…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)