To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 17
WŁASNOŚCI SUM NIESKOŃCZONYCH
PRZYKŁAD 17.1 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0
= 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 0
Na ogół w sumach nieskończonych nie wolno grupować wyrazów.
TWIERDZENIE 17.1 Jeżeli szereg jest zbieżny to wolno grupować wyrazy i otrzymany szereg będzie zbieżny do tej samej sumy.
PRZYKŁAD 17.2 Zbadać zbieżność szeregu: maleje do 0 - szereg naprzemienny zbieżny (kryt. Leibniza)
UWAGA:
Na ogół w sumach nieskończonych nie można zmieniać kolejności wyrazów.
TWIERDZENIE 17.2 (O ZMIANIE KOLEJNOŚCI WYRAZÓW)
Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny to wolno zmieniać kolejność wyrazów w tej sumie i otrzymany szereg jest zbieżny do tej samej sumy.
ILOCZYN CAUCHY'EGO SZEREGÓW
DEFINICJA 17.1 (ILOCZYN CAUCHY'EGO SZEREGÓW)
gdzie TWIERDZENIE 17.3 Jeżeli oraz są oba zbieżne i przynajmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to iloczyn Cauchy'ego tych szeregów, jest zbieżny.
SZEREGI FUNKCYJNE
Niech - przestrzenie Banacha nad K (K = R v K = C). - odwzorowanie ograniczone, - obszar
B(X, Y), gdzie B(X, Y) jest przestrzenią odwzorowań ograniczonych
Tworzymy ciąg sum częściowych szeregu DEFINICJA 17.2 (ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA, BEZWZGLĘDNA, JEDNOSTAJNA)
szereg jest zbieżny punktowo na szereg jest zbieżny bezwzględnie na gdzie szereg jest zbieżny jednostajnie na jest zbieżny jednostajnie na WNIOSEK 17.1 Jeżeli szereg jest zbieżny jednostajnie na to jest zbieżny punktowo na Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie na to jest zbieżny punktowo na Pomiędzy zbieżnością jednostajną i bezwzględną nie ma zależności - szereg może być zbieżny jednostajnie a nie musi być zbieżny bezwzględnie, i odwrotnie.
(B(X, Y), ) - przestrzeń Banacha z normą Czebyszewa
B(X, Y)
- zbieżny według norm Czebyszewa - zbieżny
- zbieżny w przestrzeni B(X, Y) z normą Czebyszewa do S - zbieżny według norm Czebyszewa do
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)