To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
SZEREGI LICZBOWE (c.d.)
TWIERDZENIE 16.1 (KRYTERIUM D'ALAMBERTA)
Z: T: Jeżeli to - zbieżny
Jeżeli to - rozbieżny
Jeżeli - przypadek wątpliwy (tzn. kryterium nie rozstrzyga czy jest zbieżny czy rozbieżny).
Dowód:
Ad.1. Niech g
(…)
…
SZEREGI LICZBOWE (c.d.)
TWIERDZENIE 16.1 (KRYTERIUM D'ALAMBERTA)
Z: T: Jeżeli to - zbieżny
Jeżeli to - rozbieżny
Jeżeli - przypadek wątpliwy (tzn. kryterium nie rozstrzyga czy jest zbieżny czy rozbieżny).
Dowód:
Ad.1. Niech g < r < 1. Z faktu, że W szczególności nierówność będzie prawdziwa dla: n=n0: , co jest równoważne, że : …………………………………………
: (1)
Weźmy pod uwagę szereg: (szereg geometryczny zbieżny). (2)
Z (1) i (2) wynika, na podstawie I kryterium porównawczego, że jest zbieżny. (3)
Zauważmy, że (4)
Z (3) i (4) wynika, że jest zbieżny.
Ad. 2.
Niech 1 < s < g
Z faktu, że W szczególności dla:
n=n1: n=n1+1: Tak samo postępując dla n=n1+k: , co zachodzi dla każdego k∈N. (1)
Zauważmy, że - szereg geometryczny rozbieżny. (2)
Z (1) i (2) wynika, że - rozbieżny
Ad. 3.
Wystarczy wskazać 2 przykłady…
…, takie, że: a) - rozbieżny
c) - zbieżny
- trzeba więc szukać innego kryterium.
Z dowodu TW. 10.1 wynika:
WNIOSEK 16.1 Z: T: Weźmy , - zbieżny
- rozbieżny
Uwaga! Wystarczy żeby założenia z TW.16.1 i WN.16.1 były spełnione począwszy od pewnego n0.
Jeżeli to: - zbieżny, jeżeli - przypadek wątpliwy.
Więcej przykładów kryteriów porównawczych można znaleźć w książce Fichtenholtz'a „Analiza matematyczna i rachunek różniczkowy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)