PRZESTRZENIE METRYCZNE
Definicja:
Przestrzeń metryczna to niepusty zbiór X w którym został w którym został ustalony sposób
mierzenia odległość pomiędzy elementami tego zbioru, tzn. została zadana funkcja
d:X×X→R, spełniająca następujące własności:
1. d(x,y) ≠ 0 d(x,y) = 0 ↔ x=y
2. d(x.y) = d(y,x)
3. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
MoŜemy więc powiedzieć, Ŝe przestrzeń metryczna to para (X,d), gdzie X jest dowolnym
niepustym zbiorem, zaś d metryką w X.
Definicja
Zbiór K(x,r) = {yєX: d(x,y) 0 nazywamy kulą otwartą o środku w punkcie x i
promieniu r w przestrzeni (X,d).
Zbiór K (x,r) = (yєX: d(x,y) ≤r}, gdzie r0 nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie x
i promieniu r w przestrzeni (X,d).
Definicja
Zbiór A Ì (X,d) nazywamy otwartym, gdy:
" xÎA $ r(x)0 K(x, r(x)) Ì A
Zbiór B Ì (X,d) nazywamy domkniętym gdy zbiór X/A jest zbiorem otwartym.
Wniosek
W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) zbiory Æ i X są jednocześnie zbiorami
domkniętymi i otwartymi.
Dowód
Wystarczy pokazać, Ŝe oba zbiory Æ i X są otwarte, bo wtedy
Æ=X/X = dopełnienie zbioru otwartego X
X=X/Æ = dopełnienie zbioru otwartego Æ
Zbiór Æ jest otwarty wprost z definicji zbioru otwartego.
Otwartość zbioru X wynika, z tego, Ŝe " xÎX "r0 K(x,r) ÌX
Twierdzenie
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, xÎX, r0. Wtedy kula otwarta K(x,r) jest zbiorem
otwartym.
Dowód
Weźmy dowolne yÎK(x,r). Mamy pokazać, Ŝe istnieje r0 takie, Ŝe K(y,r) Î K(x,r)
Skoro yÎK(x,r), to d(x,y)0 kula domknięta jest
zbiorem domkniętym.
Dowód
Mamy do pokazania, Ŝe dopełnienie X/ K (x,r) jest zbiorem otwartym.
JeŜeli yÎX/ K (x,r) to d(x,y)r.
Mamy więc r0 takie, Ŝe K(y,r)ÌX/ K (x,r), tzn. Ŝe "zÎK(y,r) będzie zachodzić
nierówność d(x,z)r. Istnieje ro takie, Ŝe d(x,y) - r r
Łatwo pokazać, Ŝe tak dobrane r spełnia podany warunek.
Definicja
Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych przestrzeni (X,d) nazywamy topologią tej przestrzeni
i oznaczamy ją symbolem t(X)
Twierdzenie
W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) topologia t(X) ma następujące własności:
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)