Matematyka - przestrzenie metryczne

Nasza ocena:

3
Pobrań: 203
Wyświetleń: 973
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - przestrzenie metryczne - strona 1 Matematyka - przestrzenie metryczne - strona 2 Matematyka - przestrzenie metryczne - strona 3

Fragment notatki:


Przestrzenie Metryczne Definicja Niech   X  - zbór,  X ≠∅ Metryką  (odległością) w zbiorze  X  nazywamy funkcję   d  : ( M0 )   d : X ×  X  [ 0, ∞ (nieujemność) o własnościach: ( M1 )  ∀  x , y ∈  X : d   x , y =0  ⇔  x =  y ( M2 )  ∀  x , y ∈  X : d   x , y = d    y , x  (symetria) ( M3 )  ∀  x , y , z ∈  X : d    x , y ≤ d    x , z  d    z , y  (warunek trójkąta) Parę    X , d   nazywamy  przestrzenią metryczną. Uwaga  M1 ⇔[∀  x ∈  X d    x , x =0 ∧∀  x , y ∈  X d    x , y =0 ⇒  x =  y ] Przykłady  przestrzeni metrycznych 1)  Przestrzeń dyskretna     X , d 01  ∀  x , y ∈  X :  d 01    x , y   ≔ { 0,  gdyx = y 1,   gdy x ≠  y d 01 -  metryka dyskretna  (zero-jedynkowa) Sprawdzamy, że funkcja   d  01 jest metryką, tzn. Jest dobrze określona i spełnia warunki (M0)-(M3). Dowód (M0)-(M2) wynikają z definicji  d  01 (M3)  1.   x =  y      L = d    x , y =0  P ≥0  } ⇒ L ≤ P 2.   x ≠  y L = d    x , y =1      x = z ≠  y P = d    x , z  d    z , y =0 1 =1  y = z ≠ x P = d    x , z  d    z , y =1 0 =1  y ≠ z ≠ x P = d    x , z  d    z , y =1 1 =2 } ⇒  P ≥1  ⇒  L ≤ P Wykład dr Joanny Górskiej  strona 1 z 23 Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski x z y d(z,y) d(x,z) d(x,y) } 2) Jednowymiarowa  przestrzeń euklidesowa   ℝ  , d E   X =ℝ ∀  x , y ∈ℝ  d E    x , y   ≔∣ x −  y ∣ dla  x , y ∈ℝ Funkcja   d E   jest metryką. Dowód (M0)-(M2) wynikają z definicji wartości bezwzględnej (M3)   d E    x , y =∣ x −  y ∣=∣ x − z  z −  y ∣≤∣ x − z ∣∣ z −  y ∣= d E    x , z  d E    z , y  3) n – wymiarowa  przestrzeń euklidesowa  ℝ n , d E   Niech  x , y ∈ℝ n x =  x 1  , x 2  ,  ...  , xn  y =  y 1  , y 2  ,  ...  , yn  d E    x , y   ≔ ∑ i =1 n   x i −  yi   2  dla  x , y ∈ℝ n d E -  metryka euklidesowa Sprawdzamy, że funkcja   d E  jest metryką. Dowód (M0)   d E    x , y  = ∑ i =1 n   x i −  yi   2  ≥0,  bo  ≥0 (M1)   d E    x , y  = ∑ i =1 n   x i −  yi   2  =0 ⇔ ∑ i =1 n   x i −  yi   2 =0 ⇔∀  i 

(…)

… 0 −r , x 0 r ]
2. Niech  X , d 01  - przestrzeń dyskretna
d 01  x , x 0 r ⇔ x=x 0 dla r≤1 lub x jest dowolnym elementem zbioru X dla r1
Stąd
K  x 0 , r =
{ {xX}
dla r≤1,
dla r1.
{ {x }
X
dla r1,
dla r≥1 .
0
Podobnie
K  x 0 , r =
0
Definicja
Niech  X , d  - przestrzeń metryczna.
Zbiór A⊂ X nazywamy zbiorem otwartym ⇔ ∀ a∈ A ∃ r0 : K a , r ⊂ A
Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej  X , d  nazywamy
topologią generowaną (indukowaną) w zbiorze X przez metrykę d i oznaczamy
Top d X lub krótko Top d .
Wykład dr Joanny Górskiej
strona 5 z 23
Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski
Twierdzenie
W każdej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Dowód
Wykażemy, że K  x 0 , r  jest zb. otwartym (tzn. ∈Top d X ).

y
Niech y ∈K  x 0 , r  .
d(y,x0)
Pytamy czy ∃0 : K  y , ⊂K  x 0 , r  , to znaczy
czyli implikacja
x0
z ∈K  y , ⇒ z ∈K  x 0 , r 
by spełniona była implikacja
r
z
d  z , y ⇒ d  z , x 0 r .
Jeżeli d  z , yr 1 , to
d  z , x 0 ≤d  z , yd  y , x 0 d  y , x 0  .
Zatem jeżeli  spełnia warunek 0 r−d  y , x 0  (np.  ≔ r−d  y , x 0  ),
1
2
to
d  z , x 0 r .
Twierdzenie (własności zbiorów otwartych)
Niech  X , d  - przestrzeń metryczna.
Wtedy
1) ∅ , X - zbiory otwarte
2) ∀ i ∈ I  Ai ⊂ X ∧ Ai −zb. otwarty ⇒ ∪ Ai −zb. otwarty
i∈I
3)
n
∀ i=1,2 , ... , n  Ai ⊂ X ∧ Ai −zb. otwarty ⇒ ∩ Ai −zb. otwarty
i=1
Uwaga
Przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym.
Przykład
Niech w przestrzeni euklidesowej ℝ , d E  będzie dana rodzina zbiorów { An }n∈ℕ , gdzie
1
An = 0, 1…
… 0 nazywamy punktem skupienia zbioru A , gdy w każdym sąsiedztwie
punktu x 0 znajduje się element zbioru A , tzn
∀ U ∗∈Top∗  x 0 : U ∗∩ A≠∅
d
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru
oznaczamy ' A .
A nazywamy pochodną zbioru
A i
Przykłady
1. W dowolnej przestrzeni metrycznej  X , d  spełnione jest:
' ∅=∅
∀ x ∈ X ' { x }=∅
2. W przestrzeni dyskretnej  X , d 01  :
∀ A∈ X ' A=∅
3. W przestrzeni…
… maksimum
Wykład dr Joanny Górskiej
strona 15 z 23
Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski
Pojęcia topologiczne
Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych
Niech X ,Y - przestrzenie topologiczne,
f : X Y
x 0 ∈' D f ( x 0 - punkt skupienia dziedziny funkcji f )
Mówimy, że funkcja f ma w punkie x 0 granicę



jeśli ∀ U ∈Top g  ∃V ∈Top  x 0 : f [V ]⊂U
i piszemy lim f  x=g
g ∈Y ,
x  x0
Niech a n n∈N będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej Y , a n n∈N ⊂Y .
Ciąg jest funkcją a : ℕ∋n  a n=a n ∈Y o dziedzinie D a =ℕ .


Jedynym punktem skupienia zbioru ℕ w ℝ jest ∞ , ' D a ={∞ } w ℝ .
Zatem
lim a n= g ⇔ ∀ U ∈Top  g  ∃V ∗∈Top∗∞ a [V ∗]⊂U
n∞
Stąd
lim a n =g ⇔ ∀ U ∈Top g  ∃ n0 ∈ℕ ∀ nn0 a n ∈U
n∞
Jeśli Y , d  - przestrzeń metryczna, to powyższa…
… Pawłowski
Normy
Definicja
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
K .
K =ℝ lub K =ℂ
Normą w przestrzeni wektorowej X nazywamy funkcję
( N0 ) ∥ . ∥: X  [ 0 , ∞  ,
spełniającą następujące własności :
x=0 wektor zerowy ∈ X ⇔∥x∥=0 skalar ∈ℝ
( N1 )
( N2 )
( N3 )
∥ x∥=∣∣∥x∥ ∈K , x∈ X
∥x y∥≤∥x∥∥y∥
x , y∈ X
Parę  X ,∥ . ∥ nazywamy przestrzenią unormowaną
Przykłady
1. X =K - przestrzeń…
… Joanny Górskiej
strona 12 z 23
Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski
Iloczyn Skalarny
Definicja
Niech  X , K ,,⋅ - przestrzeń wektorowa nad ciałem
K .
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie 〈 ,〉 : X × X  K spełniające
następujące własności :
( IS 1 )
( IS 2 )
( IS 3 )
( IS 4 )
gdzie
〈 x , y 〉=〈 y , x 〉
〈 axby , z 〉=a 〈 x , z 〉b 〈 y , z 〉
〈 x , x 〉 ≥0
〈 x , x 〉 =0 ⇔ x=0
oznacza sprzężenie…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz