Przestrzenie Metryczne Definicja Niech X - zbór, X ≠∅ Metryką (odległością) w zbiorze X nazywamy funkcję d : ( M0 ) d : X × X [ 0, ∞ (nieujemność) o własnościach: ( M1 ) ∀ x , y ∈ X : d x , y =0 ⇔ x = y ( M2 ) ∀ x , y ∈ X : d x , y = d y , x (symetria) ( M3 ) ∀ x , y , z ∈ X : d x , y ≤ d x , z d z , y (warunek trójkąta) Parę X , d nazywamy przestrzenią metryczną. Uwaga M1 ⇔[∀ x ∈ X d x , x =0 ∧∀ x , y ∈ X d x , y =0 ⇒ x = y ] Przykłady przestrzeni metrycznych 1) Przestrzeń dyskretna X , d 01 ∀ x , y ∈ X : d 01 x , y ≔ { 0, gdyx = y 1, gdy x ≠ y d 01 - metryka dyskretna (zero-jedynkowa) Sprawdzamy, że funkcja d 01 jest metryką, tzn. Jest dobrze określona i spełnia warunki (M0)-(M3). Dowód (M0)-(M2) wynikają z definicji d 01 (M3) 1. x = y L = d x , y =0 P ≥0 } ⇒ L ≤ P 2. x ≠ y L = d x , y =1 x = z ≠ y P = d x , z d z , y =0 1 =1 y = z ≠ x P = d x , z d z , y =1 0 =1 y ≠ z ≠ x P = d x , z d z , y =1 1 =2 } ⇒ P ≥1 ⇒ L ≤ P Wykład dr Joanny Górskiej strona 1 z 23 Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski x z y d(z,y) d(x,z) d(x,y) } 2) Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa ℝ , d E X =ℝ ∀ x , y ∈ℝ d E x , y ≔∣ x − y ∣ dla x , y ∈ℝ Funkcja d E jest metryką. Dowód (M0)-(M2) wynikają z definicji wartości bezwzględnej (M3) d E x , y =∣ x − y ∣=∣ x − z z − y ∣≤∣ x − z ∣∣ z − y ∣= d E x , z d E z , y 3) n – wymiarowa przestrzeń euklidesowa ℝ n , d E Niech x , y ∈ℝ n x = x 1 , x 2 , ... , xn y = y 1 , y 2 , ... , yn d E x , y ≔ ∑ i =1 n x i − yi 2 dla x , y ∈ℝ n d E - metryka euklidesowa Sprawdzamy, że funkcja d E jest metryką. Dowód (M0) d E x , y = ∑ i =1 n x i − yi 2 ≥0, bo ≥0 (M1) d E x , y = ∑ i =1 n x i − yi 2 =0 ⇔ ∑ i =1 n x i − yi 2 =0 ⇔∀ i
(…)
… 0 −r , x 0 r ]
2. Niech X , d 01 - przestrzeń dyskretna
d 01 x , x 0 r ⇔ x=x 0 dla r≤1 lub x jest dowolnym elementem zbioru X dla r1
Stąd
K x 0 , r =
{ {xX}
dla r≤1,
dla r1.
{ {x }
X
dla r1,
dla r≥1 .
0
Podobnie
K x 0 , r =
0
Definicja
Niech X , d - przestrzeń metryczna.
Zbiór A⊂ X nazywamy zbiorem otwartym ⇔ ∀ a∈ A ∃ r0 : K a , r ⊂ A
Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej X , d nazywamy
topologią generowaną (indukowaną) w zbiorze X przez metrykę d i oznaczamy
Top d X lub krótko Top d .
Wykład dr Joanny Górskiej
strona 5 z 23
Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski
Twierdzenie
W każdej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Dowód
Wykażemy, że K x 0 , r jest zb. otwartym (tzn. ∈Top d X ).
y
Niech y ∈K x 0 , r .
d(y,x0)
Pytamy czy ∃0 : K y , ⊂K x 0 , r , to znaczy
czyli implikacja
x0
z ∈K y , ⇒ z ∈K x 0 , r
by spełniona była implikacja
r
z
d z , y ⇒ d z , x 0 r .
Jeżeli d z , yr 1 , to
d z , x 0 ≤d z , yd y , x 0 d y , x 0 .
Zatem jeżeli spełnia warunek 0 r−d y , x 0 (np. ≔ r−d y , x 0 ),
1
2
to
d z , x 0 r .
Twierdzenie (własności zbiorów otwartych)
Niech X , d - przestrzeń metryczna.
Wtedy
1) ∅ , X - zbiory otwarte
2) ∀ i ∈ I Ai ⊂ X ∧ Ai −zb. otwarty ⇒ ∪ Ai −zb. otwarty
i∈I
3)
n
∀ i=1,2 , ... , n Ai ⊂ X ∧ Ai −zb. otwarty ⇒ ∩ Ai −zb. otwarty
i=1
Uwaga
Przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym.
Przykład
Niech w przestrzeni euklidesowej ℝ , d E będzie dana rodzina zbiorów { An }n∈ℕ , gdzie
1
An = 0, 1…
… 0 nazywamy punktem skupienia zbioru A , gdy w każdym sąsiedztwie
punktu x 0 znajduje się element zbioru A , tzn
∀ U ∗∈Top∗ x 0 : U ∗∩ A≠∅
d
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru
oznaczamy ' A .
A nazywamy pochodną zbioru
A i
Przykłady
1. W dowolnej przestrzeni metrycznej X , d spełnione jest:
' ∅=∅
∀ x ∈ X ' { x }=∅
2. W przestrzeni dyskretnej X , d 01 :
∀ A∈ X ' A=∅
3. W przestrzeni…
… maksimum
Wykład dr Joanny Górskiej
strona 15 z 23
Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski
Pojęcia topologiczne
Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych
Niech X ,Y - przestrzenie topologiczne,
f : X Y
x 0 ∈' D f ( x 0 - punkt skupienia dziedziny funkcji f )
Mówimy, że funkcja f ma w punkie x 0 granicę
∗
∗
∗
jeśli ∀ U ∈Top g ∃V ∈Top x 0 : f [V ]⊂U
i piszemy lim f x=g
g ∈Y ,
x x0
Niech a n n∈N będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej Y , a n n∈N ⊂Y .
Ciąg jest funkcją a : ℕ∋n a n=a n ∈Y o dziedzinie D a =ℕ .
Jedynym punktem skupienia zbioru ℕ w ℝ jest ∞ , ' D a ={∞ } w ℝ .
Zatem
lim a n= g ⇔ ∀ U ∈Top g ∃V ∗∈Top∗∞ a [V ∗]⊂U
n∞
Stąd
lim a n =g ⇔ ∀ U ∈Top g ∃ n0 ∈ℕ ∀ nn0 a n ∈U
n∞
Jeśli Y , d - przestrzeń metryczna, to powyższa…
… Pawłowski
Normy
Definicja
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
K .
K =ℝ lub K =ℂ
Normą w przestrzeni wektorowej X nazywamy funkcję
( N0 ) ∥ . ∥: X [ 0 , ∞ ,
spełniającą następujące własności :
x=0 wektor zerowy ∈ X ⇔∥x∥=0 skalar ∈ℝ
( N1 )
( N2 )
( N3 )
∥ x∥=∣∣∥x∥ ∈K , x∈ X
∥x y∥≤∥x∥∥y∥
x , y∈ X
Parę X ,∥ . ∥ nazywamy przestrzenią unormowaną
Przykłady
1. X =K - przestrzeń…
… Joanny Górskiej
strona 12 z 23
Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski
Iloczyn Skalarny
Definicja
Niech X , K ,,⋅ - przestrzeń wektorowa nad ciałem
K .
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie 〈 ,〉 : X × X K spełniające
następujące własności :
( IS 1 )
( IS 2 )
( IS 3 )
( IS 4 )
gdzie
〈 x , y 〉=〈 y , x 〉
〈 axby , z 〉=a 〈 x , z 〉b 〈 y , z 〉
〈 x , x 〉 ≥0
〈 x , x 〉 =0 ⇔ x=0
oznacza sprzężenie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)