To tylko jedna z 10 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Funkcje wielu zmiennych. Granica i ciągłość Przestrzeń euklidesowa : struktura algebraiczna, norma i iloczyn skalarny, metryka. Struktura algebraiczna Własności przestrze nie : Iloczyn skalarny Definicja : Własności: N orma Definicja : Własności: Jeżeli zachodzą powyższe własności to przestrzeń nazywamy przestrzenią unormowaną . Metryka Jeżeli funkcja d ma powyższe władności to jest ona metryką na X (odległością). Przykłady : Topologia przestrzeni . Zbieżność w . Obszary, zbiory zwarte. Topologia Niech: Wtedy: Otoczenie Zbiór zwarty Twierdzenie Borela - Zetegue'a: A jest zbiorem domkniętym i ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otwartego podzbioru A istnieje podzbiór skończony. Zbieżność D ef. 1.: Funkcję nazywamy ciągiem elementów przestrzeni metrycznej -ciąg Def. 2.: jeżeli FAKT: przestrzeń metryczna ma własność: stąd przestrzeń metryczna jest przestrzenią Hausedorffa. Twierdzenie 1.: Jeżeli ciąg ma granicę to tylko jedną. Twierdzenie 2.: (WK zbieżności) Ciąg zbieżny jest ciągiem ograniczonym. Mamy skończoną ilość punktów poza otoczeniem . Bierzemy kulę: , gdzie jest skończona ilość elementów. Wprowadzamy ciąg Cauchy'ego : Ciąg jest ciągiem Cauchy'ego gdy . Kryterium Cauchy'ego : ciąg jest zbieżny, gdy dla R: . Przestrzenie metryczne, w których zachodzi kryterium Cauchy'ego nazywamy przestrzeniami zupełnymi . Pojęcie funkcji wielu zmiennych. Funkcje n zmiennych o wartościach wektorowych. W tej sytuacji argument jest jedno wymiarowy. W tej sytuacji funkcja f jest funkcją wielu zmiennych o wartościach skalarnych (o jednej składowej). Granica funkcji wielu zmiennych. Twierdzenie 1 .: Funkcja składowa ma . UWAGA: gdy argument jest rzeczywisty to warunek istnienia granicy jest uzasadniony poprzez istnienie granic prawo- i lewostronnych równych b, bo t leży na prostej . - punkt skupienia, gdy każde otoczenie w przecięciu z całym zbiorem ma jakieś punkty wspólne Należy wykazać, że gdy to Musi zachodzić równość wszystkich granic!!! Twierdzenie 2.: Każda funkcja składowa ma granicę , . Granice iteracyjne. Związek między granicą funkcji a granicami iteracyjnymi. Niech: Wtedy: Granic iteracyjnych jest tyle ile permutacji (zmiennych). Twierdzenie : (związek między granicą podwójną a granicami iteracyjnymi) Założenia: 1. Jeżeli istnieje skończona/nieskończona granica podwójna: 2. Dla , y - rzut prostokątny na os OY istnieje skończona lub nieskończona granica: Wtedy istnieje granica
(…)
… taka, że . Definicje funkcji ciągłej w punkcie.
FAKT: WNIOSEK: Jeżeli funkcja f jest ograniczona to można dokładnie zmierzyć do jakiego stopnia funkcja jest nieciągła dla . Weźmy Niech: Określamy wahanie: Granica ta zawsze istnieje, gdyż różnica maleje dla . Funkcje ciągłe w obszarze (ciągłość globalna).
Jeżeli popatrzeć na otoczeniowe definicje ciągłości w punkcie, to: Funkcja f jest ciągła globalnie, gdy otoczenie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)