IV. Ciągi liczbowe
1. Podstawowe pojęcia
Definicja 1. Ciągiem liczbowym (nieskończonym)1 nazywamy funkcję
a:N
n → a(n) ∈ R.
Tradycyjnie wartość ciągu a(n) oznaczamy symbolem an i nazywamy n-tym wyrazem ciągu lub
wyrazem ogólnym ciągu. Sam ciąg oznaczamy jako
a1 , a2 , . . . , an , . . .
lub
(an )n∈N
lub krótko
(an ).
Liczby 1, 2, . . . , n, . . . będziemy nazywali indeksami lub numerami wyrazów.
Oto przykładowe ciągi liczbowe.
1. Pierwszymi wyrazami ciągu an = 2n , n = 1, 2, . . . są
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512, 210 = 1024, . . .
2. Pierwszymi wyrazami ciągu an = n2 − n + 41, n = 1, 2, . . . są
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, . . .
3. Wzór an = 1 +
1 n
n ,
n = 1, 2, . . . definiuje ciąg, którego pierwszymi wyrazami są
9
a1 = 2, a2 = 4 , a3 = 64 , a4 = 625 , . . .
27
256
√
√
4. Warunki: a1 = 2, an+1 = 2 + an dla n = 1, 2, . . . wyznaczają ciąg nieskończony, którego
pierwszymi wyrazami są liczby:
a1 =
√
2, a2 =
2+
√
2, a3 =
2+
2+
√
2, a4 =
2+
2+
2+
√
2, . . .
5. Warunki: a1 = a2 = 1, an+2 = an + an+1 dla n = 1, 2, . . . wyznaczają ciąg, którego pierwszymi
wyrazami są
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
Jest to tak zwany ciąg Fibonacciego.
Definicja 2. Niech dany będzie ciąg liczbowy (an ) oraz ciąg rosnący liczb naturalnych
n1 an .
1. Ciąg (an ) jest ściśle rosnący, gdy
n∈N
2. Ciąg (an ) jest ściśle malejący, gdy
∀ an+1
an+1 − an =
an .
n∈N
4. Ciąg (an ) jest malejący, gdy
n
n+1
an .
∀ an+1
3. Ciąg (an ) jest rosnący, gdy
Przykład 3. Ciąg an =
∀ an+1 0.
n+2 n+1
(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
Definicja 7. Niech (an ), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem liczbowym.
2. Ciąg (an ) jest ograniczony z dołu, gdy
3. Ciąg (an ) jest ograniczony, gdy
Przykład 4. Ciąg an =
an =
√
n+2−
√
√
n+2−
∃
∀ an
M.
∃
∀ an
m.
∃
1. Ciąg (an ) jest ograniczony z góry, gdy
∀ |an |
M ∈R n∈N
m∈R n∈N
M ∈R n∈N
√
M.
n jest ograniczony z góry, gdyż dla każdego n ∈ N
√
√ √
√
( n + 2 − n)( n + 2 + n)
2
√
n=
=√
√
√
n+2+ n
n+2+ n
Powyższa nierówność wynika z oszacowania
√
n+2+
√
n
√
1+2+
√
1=
√
√
2
.
3+1
3 + 1.
2
Słownie: osiemnaście trylionów czterysta czterdzieści sześć biliardów siedemset czterdzieści cztery biliony siedemdziesiąt trzy miliardy siedemset dziewięć milionów pięćset pięćdziesiąt jeden tysięcy sześćset piętnaście.
28
IV. Ciągi liczbowe
4. Granica ciągu
Definicja 8. Niech ε (czyt. epsilon) będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Przedział
U (x0 , ε) = (x0 − ε, x0 + ε)
nazywamy otoczeniem punktu x0 . Zbiór
S(x0 , ε) = (x0 − ε, x0 ) ∪ (x0 , x0 + ε)
nazywamy sąsiedztwem punktu x0 . Oczywiście S(x0 , ε) = U (x0 , ε) \ {x0 }.
Własność 4. Dla dowolnego x0 ∈ R i dowolnej liczby ε 0
U (x0 , ε) = {x ∈ R : |x − x0 | 0 n0 ∈N n n0
|an − g| 1 . Tak więc, jako n0 można na przykład przyjąć najmniejszą liczbę naturalną większą
ε
od 1 . Wtedy dla n n0 mamy
ε
1
1
|an | =
1−ε
.
ε
Niech n0 będzie jakąkolwiek liczbą naturalną większą od liczby 1−ε . Wtedy dla każdego n
ε
zachodzi nierówność n 1−ε i z powyższej równoważności wynika, że
ε
n0
n+2
− 1 ε,
∀
∃
∀
an 0 n0 ∈N n n0
ε0 n0 ∈N n n0
Wprost z powyższej definicji dostajemy trzy własności.
Własność 7. lim an = −∞
n→∞
⇔
lim (−an ) = +∞.
n→∞
1
n→∞ an
Własność 8. Jeśli lim |an | = +∞, to lim
n→∞
= 0.
Własność 9. Niech lim an = 0. Wówczas:
n→∞
1
n→∞ an
lim 1
n→∞ an
1) jeśli an 0 dla n ∈ N, to lim
= +∞;
2) jeśli an 0 istniała taka liczba naturalna n0 , że dla n n0 i m n0 zachodziła nierówność
|an − am | l, gdy
dla k l, gdy
ak
bl
ak
bl
0,
0 dla każdego n ∈ N, to
n→∞
n→∞
ab ,
0,
lim (an )bn =
n→∞
gdy a 0,
gdy a = 0 i b 0.
Przykład 11.
n
lim
n→∞
n
= lim
2n + 1 n→∞
1
n
n
2n + 1
0
1
2
=
= 1.
Przykład 12. Dla dowolnej liczby a 0
lim
√
n
n→∞
1
a = lim a n = a0 = 1.
n→∞
Twierdzenie 8. Jeżeli lim an = a i lim bn = +∞ oraz an 0 dla każdego n ∈ N, to
n→∞
n→∞
0,
+∞,
lim (an )bn =
n→∞
gdy a ∈ (0, 1),
gdy a ∈ (1, +∞).
Przykład 13.
lim 2−n = lim
lim 2n = +∞,
n→∞
n→∞
n→∞
1
2
n
= 0.
Przykład 14.
lim
n→∞
gdyż z poprzedniego przykładu lim
n→∞
−
1
2
1 n
2
n
= lim (−1)n ·
n→∞
= 0 oraz |(−1)n |
1
2
n
= 0,
1.
n
1
Twierdzenie 8 nie daje odpowiedzi ani na pytanie, czy ciąg o wyrazie ogólnym 1 + n
jest
zbieżny, ani na pytanie do jakiej granicy. Ponieważ jest to ciąg rosnący i ograniczony, to jest on
zbieżny. Jego granicę oznaczamy literą e.
Definicja 11.
e = lim 1 +
n→∞
1 n
n .
Liczbę e można oszacować
1
2 0,
x · (+∞) = −∞ dla x
(…)
…,
2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny
Definicja 3. Ciąg liczbowy (an ) nazywamy postępem arytmetycznym, gdy
∃
∀ an+1 = an + r.
r∈R n∈N
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego, bowiem r = an+1 − an .
Własność 1. Jeśli (an ) jest postępem arytmetycznym o różnicy r, to n-ty wyraz tego ciągu jest
określony wzorem
an = a1 + (n − 1)r.
Definicja 4. Ciąg liczbowy (an ) nazywamy postępem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)