1 Wzory rekurencyjne Niech ( ) + = n n x dx I 2 1 , N n ∈ Wtedy C arctgx I + = 1 ; a dla 2 ≥ n : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 − − − − − − − − + − − − + − + − − ...
1 R C B A lj lj ki ∈ ∃ , , Całkowanie funkcji wymiernych Twierdzenie Gaussa Niech [ ] X R W ∈ ( ) 0 1 1 1 a x a x a x a x W n n n n + + + + = − − , 0 ≠ n a Ka dy taki
1 Twierdzenie Taylora Zało enie [ ] ( ) ( ) ( x x D f x x C f n , , 0 0 1 ∈ ∧ ∈ − Teza ( ) ( ) ( )( ) ( ) c R x x k x f x f x x c n n k k k + − = ∈ ∃ − = 1 0 0 0 ) ( 0 ! : , , gdzie ( ) ( )( ) n n n x x n c f R 0 ! − = n R - n -ta reszta (w postaci Lagrange’a) lub i...
1 Całkowanie funkcji niewymiernych Całki z funkcji niewymiernych sprowadzamy do całek z funkcji wymiernych. dx d cx b ax x R n + + , d c b a bc ad , , , 0 ∧ ≠ − - liczby rzeczywiste R – funkcja wymierna ...
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ~ 0 0 0 = ′ ∧ ′ ∃ ∨ ′ ∃ x f x f x f EKSTREMA LOKALNE ( ) ( ) 0 , 0 0 0 ∧ + − = δ δ δ φ x x x φ - /fi/; δ - /delta/ ( ) 0 x φ - otoczenie punktu x0 ( ) ( ) { } 0 0 0 \ * x x x φ φ = ( ) 0 * x φ - s siedztwo punktu x0 X x R X f ∈ → 0 :...
1 Całkowanie funkcji trygonometrycznych (funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych) ( ) dx x x R cos , sin , ( ) v u R , - funkcja wymierna zmie...
1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 , , 0 0 x x x f x f x f x x b a x x − ′ + ∀ ⇔ ≠ ∧ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 , , 0 0 x x x f x f x f x x b a x x − ′ + ′ ∈ f b a C f Dowód: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 , , x x x f x f x f x x c f x x x f x f x f x x b a x...
1 Twierdzenie (reguła de L’Hospitala) Zało enia ( ) { } R x b a g f → 0 \ , : , ( ) { } ( ) 0 \ , , x b a D g f ∈ , x0 – punkt skupienia zbioru (a,b) , tzn. [ ] b a x , 0 ∈ ( ) ( ) { } 0 \ , 0 x b a x x g ∈ ≠ ′...
Pojęcia topologiczne Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych Niech X ,Y - przestrzenie topologiczne, f : X Y x 0∈ ' D f ( x 0 - punkt sk...
1 FUNKCJE f jest funkcj (odwzorowaniem) ze zbioru X w zbiór Y, je li f przyporz dkowuje ka demu elementowi ze zbioru X co najwy ej jeden element ze zbioru Y . ( ) Y y x f x X f Y X f ∈ = ∋ → : : Dziedzina funkcji: ( ) { } x f X x Df ∃ ∈ = : : Przeci...
