1 FUNKCJE f jest funkcj (odwzorowaniem) ze zbioru X w zbiór Y, je li f przyporz dkowuje ka demu elementowi ze zbioru X co najwy ej jeden element ze zbioru Y . ( ) Y y x f x X f Y X f ∈ = ∋ → : : Dziedzina funkcji: ( ) { } x f X x Df ∃ ∈ = : : Przeciwdziedzina funkcji: ] [ : f D f = Wykres funkcji: ( ) ( ) { } x f y D x Y X y x W f f = ∧ ∈ × ∈ = : , : Y B X A Y X f ⊂ ∧ ⊂ → : Obraz zbioru A poprzez funkcj f: [ ] ( ) { } y x f A D x Y y A f f = ∩ ∈ ∃ ∈ = : : : 2 Przeciwobraz zbioru B poprzez funkcj f: [ ] ( ) { } B x f D x B f f ∈ ∈ = − : : 1 Restrykcja funkcji Y A g X A Y X f → ⊂ → : : Funkcj g nazywamy restrykcj ( zaw eniem ) funkcji f do zbioru A, je li ( ) ( ) g f g D x x f x g D A D ∈ ∀ = ∩ = , : i oznaczamy g f A = : Y X f → : Funkcja f jest injekcj ( funkcj ró nowarto ciow ), je li ( ) ( ) ( 2 1 2 1 , 2 1 x f x f x x f D x x ≠ ≠ ∀ ∈ zapis ten jest równowa ny z zapisem: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 , 2 1 x x x f x f f D x x = = ∀ ∈ Iniekcj f oznaczamy X f : Y 3 Funkcja f jest surjekcj , je li Y D f f = ] [ co oznaczamy X f : Y Funkcja f jest bijekcj ( odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym zbioru X na zbiór Y), je li ∧ = X D f f - injekcja ∧ f - surjekcja co z kolei oznaczamy X f : Y Składanie funkcji (superpozycja) ( )( ) ( ) ( ] [ : : : : 1 g D f x x f g x f g Z X f g Z Y g Y X f − ∈ ∧ = → → → X I - identyczno na X ( ) X x x x I X ∈ ∧ = Odwzorowanie odwrotne Y X I g f I f g X Y g Y X f = = → → : : Twierdzenie X f : Y
(…)
… ci całki nieoznaczonej)
∃ f ( x )dx
∃ g ( x )dx
∃ (αf + β g )( x )dx
Twierdzenie o całkowaniu przez cz
f , g ∈ D (I )
oraz
(αf + βg )(x )dx = α
f ( x )dx + β g ( x )dx
ci
f ′( x )g (x )dx = f (x )g ( x ) −
f (x )g ′(x )dx , x ∈ I
o ile istniej całki po prawej i po lewej stronie równo ci.
Dowód
( f (x )g (x ))′ = f ′(x )g (x ) + f (x )g ′(x )
całkuj c dwie strony równo ci mamy:
26
f (x )g (x ) =
f ′(x )g ( x )dx +
f ( x )g ′(x )dx
f ′( x )g ( x )dx = f ( x )g (x ) −
f ( x )g ′(x )dx
Przykład
g ( x ) = ln x
f ′( x ) = 1
ln xdx =
g ′( x ) =
1
x
f (x ) = x
= x ⋅ ln x −
1
x
xdx = x ln x − x + C
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej)
f :I → R
∃ f (x )dx
f ( x )dx
h: J → I
x = h (t )
=
f (h(t )) ⋅ h′(t )dt dla t ∈ J
h ∈ D(J )
Dowód
Niech
F ( x ) :=
f (x ) .
F′ = f
d
d
F ( x ) x=h (t ) = (F (h(t ))) = F ′(h(t )) ⋅ h′(t ) = f (h(t )) ⋅ h′(t )
dt
dt
St d F ( x ) x =h (t ) = f (h(t )) ⋅ h′(t )dt
(
)
Je li dodatkowo funkcja h jest bijekcj , to:
F (x ) =
f (h(t )) ⋅ h′(t )dt
t = h −1 ( x )
Otrzymujemy
Wniosek (Wniosek o całkowaniu przez podstawienie)
Je li spełnione s zało enia twierdzenia o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej oraz
dodatkowo funkcja h : J → I jest bijekcj to:
f ( x…
…)
Twierdzenie (reguła de L’Hospitala)
Zało enia:
f , g : (a, b ) \ {x0 } → R
f , g ∈ D((a, b ) \ {x0 }) , x0 – punkt skupienia zbioru (a,b), tzn. x0 ∈ [a, b]
22
g ′( x ) ≠ 0
x ∈ (a, b ) \ {x0 }
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
x → x0
x → x0
lub
lim f (x ) = lim g ( x ) = ±∞
x → x0
Teza:
∃ lim
x→ x0
x → x0
f ′(x )
=c
g ′( x )
∃ lim
x → x0
f (x )
f (x )
∧ lim
=c
g (x ) x→ x0 g (x )
Dowód:
Tylko przypadek: lim f (x…
… + C
1− x2
− dx
= arccos x + C
2
1− x
dx
= ln x 2 ± k + x + C
x2 ± k
sinh xdx = cosh x + C
cosh xdx = sinh x + C
1
dx = tghx + C
cosh 2 x
1
dx = −ctghx + C
sinh 2 x
Twierdzenie
f ∈ C (I )
∃
f
Funkcje elementarne to funkcje, które mo na otrzyma z funkcji stałej, pot gowej, wykładniczej,
trygonometrycznych i cyklometrycznych przez wykonanie sko czonej liczby działa +,−,⋅, :, , (
(dodawania, odejmowania…
… )) ∧ x ∈ f −1[ Dg ]
I X - identyczno na X
I X (x) = x ∧ x ∈ X
Odwzorowanie odwrotne
f : X →Y
g :Y → X
g f = IX
wtedy g nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do f
i oznaczamy f
f g = IY
Twierdzenie
f :X
Y
∃f
−1
:Y
−1
:= g
X
f −1 ( y ) = x ⇔ f (x) = y, y ∈Y
3
Funkcje cyklometryczne (funkcje odwrotne do pewnych restrykcji funkcji trygonometrycznych)
tg (− π , π ) : (− π , π )
2 2
R
2 2
−1
arctg := tg (− π , π…
… funkcji odwrotnej
Twierdzenie
f ∈ C ((a, b ))
f : (a, b )
R
x0 ∈ (a, b )
f ( x0 ) =: y0
∃f ′( x0 ) ∧ f ′( x0 ) ≠ 0
′
f −1 ∈ D( y0 ) ∧ f −1 ( y0 ) =
(
)
1
f ′( x0 ) x = f −1 ( y
0
8
0
)
Dowód
( )
f −1 ( y ) − f −1 ( y0 ) y0 = f x0
lim
=
f −1∈C ( f ∈C ∧ f −iniekcja )
y → y0
y − y0
y → y0
f −1 ( y ) → f −1 ( y0 )
= lim
x→ x0
x − x0
= lim
f ( x ) − f ( x0 ) x→ x0
1
f ( x )− f ( x0 )
x − x0
=
1
f
−1
( x0 ) x0…
… sin x ⋅ cos n −1 x +
n
dla
n=2
n −1
n
n −1
n
sin n−2 xdx
dla
n≥2
cos n −2 xdx dla n ≥ 2
mamy:
1
1
x − cos x sin x + C
2
2
1
1
cos 2 xdx = x + sin x cos x + C
2
2
sin 2 xdx =
Całkowanie funkcji wymiernych
Twierdzenie Gaussa
30
x
)
2 n −1
−
1
I n−1 =
2n − 2
Niech
W ∈ R[ X ]
W (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +
+ a1 x + a 0 , a n ≠ 0
Ka dy taki wielomian mo emy zapisa , jako iloczyn jednomianów…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)