To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Twierdzenie Taylora Zało enie [ ] ( ) ( ) ( x x D f x x C f n , , 0 0 1 ∈ ∧ ∈ − Teza ( ) ( ) ( )( ) ( ) c R x x k x f x f x x c n n k k k + − = ∈ ∃ − = 1 0 0 0 ) ( 0 ! : , , gdzie ( ) ( )( ) n n n x x n c f R 0 ! − = n R - n -ta reszta (w postaci Lagrange’a) lub inaczej n -ty bł d rozwini cia Taylora funkcji f umowa: ( ) f f = : 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n + − − + + − ′ + − ′ + = − − 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 ! 1 ! 2 ! 1 Uwaga 1. Dla 1 = n twierdzenie staje si twierdzeniem Lagrange’a. 2. W ogólnym przypadku twierdzenie pokazuje, e funkcj f mo na przybli y wielomianem stopnia 1 − n , ( ) ( )( ) − = − ≈ 1 0 0 0 ) ( ! n k k k x x k x f x f natomiast reszta n R pozwala oszacowa bł d bezwzgl dny ( ) c R n gdy znana jest najwi ksza warto ( ) ( ) x f n . Dowód Niech: ( ) ( ) ( ) ( )( ) − = − − = 1 0 ! : n k k k t x k t f x f t ϕ dla [ ] x x t , 0 ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 1 1 ! 1 ! 1 ! ! ! 1 ! ! 1 ! 0 ! − − − = + − = + − = − = − − = + − = − + − = − − − = ′ + − − − ′ − = = − + − − ′ − = − − + + − − ′ − = − − − − − ′ − = ′ = = − − − = n n n n n j j j n k k k n k k j k k n k k k n k k k k k n n k k k t x n t f t f t x n t f t f t x j t f t x k t f t f t x k t f t x k t f t f t x k t f t x k t f t f t c R x x t x k t f t f x f t ϕ ϕ ϕ ϕ 2 Niech ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)