Transformacje częstotliwościowe - wykład

Nasza ocena:

3
Pobrań: 56
Wyświetleń: 1190
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Transformacje częstotliwościowe - wykład - strona 1 Transformacje częstotliwościowe - wykład - strona 2 Transformacje częstotliwościowe - wykład - strona 3

Fragment notatki:

Transformacje częstotliwościowe
Transformacja Fouriera
Z rozkładu funkcji okresowej na nieskończony szereg Fouriera otrzymujemy:

X =∫ x t e− j t dt
−∞
gdzie
= 2 f
tr. odwrotna

1
x t =
∫ X  e j  t d 
2  −∞
Przypadek dyskretny:
N −1
X k = ∑ x ne
− j 2 n
k
N
gdzie 0≤k ≤ N −1 (dyskretne częstotliwości)
n=0
z zależności Eulera e j =cos− j sin  otrzymujemy równanie równoważne:
N −1
k
k
X k = ∑ x n cos 2 n − j sin 2 n 
N
N
n=0
Oba powyższe wzory stanowią definicję DFT
[
tr. odwrotna:
N −1
k
j 2n
1
N
x  n= ∑ X k e
N k =0
]
gdzie 0≤n≤N −1
Funkcja X k =A k  j  k  nazywana jest dyskretnym widmem lub dyskretną transformatą
Fouriera ( DFT ) sygnału x  n gdzie:
∣X k ∣= Ak  widmo amplitudowe (moduł)

arg  X k =k  widmo fazowe (argument)

-1-
Własności tr. Fouriera
1) Okresowa
N− 1
−j
X k N = X k = ∑ x n e
2
 kN  n
N
k=0
2) odwracalna
N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');
3) liniowa
dla
x  n=a y nb z n mamy
X k =a Y  k b Z k 
4) przesunięcie w czasie
dla
x  n= y nn 0  mamy
N −1
− j 2   nn0
X k = ∑ y  ne
k
N
n=0
5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja częstotliwości)
dla
1
X k =Y  k k 0 =
N
x  n=e
j 2n
k0
N
N −1
∑ Y  k k 0 e
− j 2 n
 k k 0
N
mamy
k=0
y  n
6) splot (w dziedzinie czasu)
dla
x  n= y n∗z n mamy
X k =Y  k  Z  k 
(operacja splotu pokazać wzór; dalsze wyjaśnienia przy okazji filtrów)
7) splot w częstotliwości
dla
x  n= y n z  n mamy
X k =Y  k ∗Z k 
-2-
Interpretacja geometryczna DFT
N −1
X k = ∑ x ne
− j 2 n
k
N
n=0
wiemy, że
f=
F s=2  oraz
f=
2k
N
stąd
2k
k
=Fs
N
N
Kombinacja liniowa elementów bazy
w=∑  nv n
n
Zatem
= x n=[ x 0 , x 1 , ... , x  N −1] oraz
− j 2n
v  n=e
k
N
to w  k =? ??
Pytania:
k
1) Czy wektory v  n=e− j 2  n N tworzą bazę przestrzeni ℂ N ?
2) Jaką bazę (ortonormalną czy ortogonalną) ?
N=512; n=(0:N-1);
v0=cos(2*pi*0/N*n);
v1=cos(2*pi*1/N*n);
v2=cos(2*pi*2/N*n);
v3=cos(2*pi*3/N*n);
plot(n,v0,';k=0;',n,v1,';k=1;',n,v2,';k=2;',n,v3,';k=3;');
v0*v0', v1*v1', v1*v2'
N=4;n=(0:N-1);k=(0:N-1)';
E = e^(-j*2*pi*k*n/N);
E*E'
-3-
Przykłady
Impuls Kroneckera
x  n= n
N −1
X k = ∑  ne
− j 2 n
k
N
=1 e− j 0=1
n=0
N=256; x = zeros(N,1); x(1) = 1;
X=fft(x);f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
Funkcja grzebieniowa

T n =∑ k=−∞  n−kT 
N −1
− j 2n
X k = ∑ T  ne
n=0
k
N
N −1
− j 2 n
=∑ e
n=0
k
N
{
= N , k =0
0, k ≠0
N=256; x = ones(N,1); x(1) = 1;
X = fft(x); f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
(w obu przypadkach X(k) jest rzeczywiste !!!, ale to wyjątek)
Dla sygnałów rzeczywistych x ∈ R N (wszystkie próbki sygnału rzeczywiste) widmo
X k =A k  j  k  posiada dodatkowo własności:

(…)

…-
Własności tr. Fouriera
1) Okresowa
N− 1
−j
X k N = X k = ∑ x n e
2
 kN  n
N
k=0
2) odwracalna
N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');
3) liniowa
dla
x  n=a y nb z n mamy
X k =a Y  k b Z k 
4) przesunięcie w czasie
dla
x  n= y nn 0  mamy
N −1
− j 2   nn0
X k = ∑ y  ne
k
N
n=0
5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz