Wykład - Widmo sygnału

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 644
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład - Widmo sygnału - strona 1 Wykład - Widmo sygnału - strona 2 Wykład - Widmo sygnału - strona 3

Fragment notatki:

Widmo sygnału
Przypadek ciągły – z rozwinięcia w szereg Fouriera


X =∫ x t e
− j t
dt gdzie = 2 f a w efekcie
−∞
X  f = ∫ x t e− j 2  f t dt
−∞
transformata odwrotna

1
x t =
∫ X  f  e j 2  f t df
2  −∞
Funkcje e− j 2  f t są do siebie ortogonalne więc stanowią bazę przestrzeni !!!
Przypadek dyskretny – równanie DFT:
N −1
X k = ∑ x ne − j 2 k n / N gdzie 0≤k ≤ N −1 (dyskretne częstotliwości)
n =0
formuła wyznaczania częstotliwości dyskretnych:
f k=
k Fs
(dlaczego akurat takie? !!!)
N
tr. odwrotna:
N−1
1
x  n= ∑ X  k  e j 2  k n / N gdzie 0≤n≤N −1
N k=0
Jeżeli wynik DFT zapiszemy jako liczbę zespoloną
j  k 
X k =A k  e
= X r  k  j X i  k 
to:
– moduł widma
∣ X k ∣= Ak =  X 2 k  X 2 k 
r
i
– faza widma
X i k 
arg  X k =k =arctan
X r k 
– widmowa gęstość mocy
2
2
2
P  k =∣X k ∣ = X  k  conj X k =[ X r k  j X i  k ] [ X r  k − j X i  k ]= X r  k  X i  k 


Transformata DFT dla sygnałów 2D
Jeżeli mamy obraz np.
ox , y
x , y ∈ℤ
N x −1
O k , l = ∑ e
x=0
− j 2 k x / N x
∑
N y −1
y=0
− j 2 l y/ N y
o x , y  e

N x −1 N y −1
=∑
x=0
∑ o x , y e− j 2 l y / N e− j 2  k x/ N
y
y=0
x
Własności
Symetria
Dla sygnałów rzeczywistych ciągłych !!! i dyskretnych zachodzi:
∣X k ∣=∣X −k ∣ i k =−−k 
X r  k  j X i  k = X r −k − j X i −k  (można pokazać
lub inaczej X k =conj  X −k  ,
przez wstawienie -k do równania DFT)
Liniowość
Zachodzi dla sygnałów ciągłych i dyskretnych:
dla
x  n=a y nb z n mamy
X k =a Y  k b Z k 
Okresowość
Dla dyskretnych
X k =X  m∗N k  , m∈ℤ (pokazać)
Przesunięcie w czasie
dla
x  n= y nn 0  mamy
N −1
−j
X k = ∑ y  ne
2   nn0
k
N
−j
=e
2  n0
k
N
Y k =e
j 0 k
Y k 
k =0
(przesunięcie fazy widma o stały czynnik)
Przesunięcie w częstotliwości
dla
1
X k =Y  k k 0 =
N
x  n=e
j
2  k0
n
N
y  n=e
j 0 n
N −1
∑ Y  k k 0 e
−j
2  kk 0
n
N
mamy
k=0
y  n
(przemnożenie przez stałą częstotliwość)
Istnienie FT/DFT dla sygnałów okresowych i nieokresowych
DFT istnieje tylko dla sygnałów okresowych !!!
(proszę sobie przypomnieć przykład z aproksymacją linii prostej – Notatki4 BS)
Jeżeli sygnał transformowany nie jest okresowy to konsekwencją jest przeciek widma.
N=512; Fs=512; n=(0:N-1)/Fs; x=sin(2*pi*50*n); y=sin(2*pi*50.17*n);
plot(n,x,n,y);
X = fft(x); Y = fft(y); f = ((0:N-1)/N)*Fs;
plot(f,abs(X),'b*',f,abs(Y),'r*');
Najpowszechniejsze lekarstwo – okienkowanie sygnału
x w  n=w n x n 
N=256; Fs=N; n=(0:N-1)./Fs;
x=sin(2*pi*20*n); y=sin(2*pi*20.17*n);
plot(n,x,';x(n);',n,y,';y(n);');
w = bartlett(N)';plot(n,w,n,y.*w); %% okienko trójkątne
w = hamming(N)';plot(n,w,n,y.*w);
w = hanning(N)';plot(n,w,n,y.*w);
w = gausswin(N,3)';plot(n,w,n,y.*w);
xw= x.*w; yw = y.*w;
X=fft(x);XW=fft(xw);Y=fft(y);YW = fft(yw);f = ((0:N-1)/N)*Fs;
plot(f,abs(Y),'ro',f,abs(YW),'b*'); %% zmniejszony przeciek, ale nic za darmo ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz