WYKŁAD 21 , (*) , , WNIOSEK: Szereg (*) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do f w [-l,l] (zbieżność w sensie ) Tzn. ciąg sum częściowych szeregu Fouriera (*) DEFINICJA 21.1 Niech f - ograniczona w [a,b] f - przedziałami monotoniczna jeżeli [a,b] da się podzielić na skończoną ilość podprzedzi...
WYKŁAD 22 CAŁKI WIELOKROTNE Niech ( ,Β( ), ln) - przestrzeń z miarą Β( ) - σ algebra generowana przez gdzie podzb. zb. miary Lebesque'a zero} Niech f - ln - całkowalna ln(dx) = ln(dx) całka względem miary Lebesque'a w Niech ln(dx) = ln(dx) oznaczenie: ln(dx) = dx1...dxn TWIERDZENIE 22.1 Z : f∈...
WYKŁAD 23 UWAGA: to samo: WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE Wprowadzając współrzędne biegunowe będziemy pisać: PRZYKŁAD 23.1 Obliczyć: , D - obszar ograniczony , a 0 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI PODWÓJNEJ Jeżeli i w D, wtedy I - objętość bryły ograniczonej od góry powierzchnią , obszarem D od dołu...
Wykład 24 Twierdzenie 24.1 (o zamianie zmiennych) Z: , A - mierzalny w sensie Lebesque'a - izomorfizm ( ) ,f - całkowalna T: Przykład 23.3 c.d. Obliczyć , gdzie Wprowadzamy współrzędne walcowe: Współrzędne walcowe uogólnione: Interpretacja geometryczna współrzędnych walcowych : Współrzędne ...
WYKŁAD 25 CAŁKI KRZYWOLINIOWE PRZYKŁAD 25.1 Taka parametryzacja okręgu zadaje nam kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara Ta parametryzacja zadaje nam kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara Zgodnie z ruchem wskazówek zegara ...
Wykład 26 Całki krzywoliniowe Tw. 26.1 (Greena) Z: R2 E - obszar E - (brzeg obszaru ) - krzywa regularna, zamknięta zorientowana dodatnio względem E (tzn. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) funkcje: P: R2 → R, Q: R2 →R - są określone i ciągłe oraz mają ciągłe pochodne w E - jest normalny wz...
WYKŁAD 27 DEFINICJA 27.1 (PARAMETRYZACJA REGULARNA) Niech: - obszar (zbiór otwarty i spójny) ℑ : ∋ ℑ -parametryzacja regularna :⇔ 1° 2° ℑ - ciągła i różniczkowalna w 3° ℑ - różno...
WYKŁAD 28 TWIERDZENIE 28.1 (OSTOGRADSKIEGO - GAUSSA) Z: - obszar normalny względem płaszczyzn układu współrzędnych - powierzchnia regularna zamknięta zorientowana na zewnątrz V są określone i ciągłe na T: DEFINICJA 28.1 (ZGODNOŚĆORIENTACJI PŁATA I JEGO BRZEGU) Powiemy, że płat S i jego brzeg ∂S...
WYKŁAD 3 Metody całkowania cd. Miara i całka. OBLICZANIE CAŁEK Z UŁAMKÓW PROSTYCH II RODZAJU całka I1 całka I2 całka In Wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego na In całka I całka In CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a gdzie: Vn-1(x) -
WYKŁAD 4 Wstęp do teorii miary DEFINICJA 4.1 Dany ciąg . Tworzymy ciąg Sn = . A wtedy: { , } nazywamy szeregiem. DEFINICJA 4.2 Szereg jest zbieżny: ⇔ Sn= jest sumą szeregu. UWAGA: Mówiąc szereg będziemy rozważać szereg { , }, natomiast mówiąc suma: rozważamy wartość Sn , gdzie Sn jest ciągiem ...
