Wstęp do teorii miary- wykład 4

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 364
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wstęp do teorii miary- wykład 4 - strona 1 Wstęp do teorii miary- wykład 4 - strona 2 Wstęp do teorii miary- wykład 4 - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 4
Wstęp do teorii miary
DEFINICJA 4.1
Dany ciąg . Tworzymy ciąg Sn = . A wtedy: { , } nazywamy szeregiem.
DEFINICJA 4.2
Szereg jest zbieżny: ⇔ Sn= jest sumą szeregu. UWAGA:
Mówiąc szereg będziemy rozważać szereg { , }, natomiast mówiąc suma: rozważamy wartość Sn , gdzie Sn jest ciągiem sum częściowych szeregu.
TEORIA MIARY
DEFINICJA 4.3 (σ - ALGEBRA)
Dany zbiór Ω ≠ ∅, U - rodzina podzbiorów zbioru Ω. U jest σ algebrą: ⇔ 1. Ω ∈U,
2. (ၗ\A) ჎U, 3. An჎U ⇒ An ჎ U.
PRZYKŁAD 4.1
ၗ = [0, 5]. Niech X={჆, [0,1[}. Sprawdzamy, czy X jest ၳ algebrą:
Ad. 1o Ω ∉U, Ad. 2o Ω\ ჆ = Ω∉U, Ω\ [0, 1[ = [1, 5] ∉U
Nie jest, więc musimy ją uzupełnić o Ω, [1, 5].
U1 = {჆, [0,1[, , } Sprawdzamy, że jest to ၳ algebra:
1. [0, 5] = ၗ ∈ U1 2. ၗ - ჆ = ၗ ∈ U1; ၗ - ၗ = ჆∈U1; ၗ - [0, 1[ = [1, 5] ∈U1; ၗ - [1, 5] = [0, 1[∈U1.
3. ჆∪A = A dla A჎U1;
ၗ∪A = ၗ dla A჎U1; [0, 1[∪[1, 5] = ၗ჎U1.
Stąd wnioskujemy, że U1 jest ၳ algebrą, która zawiera rodzinę X.
Istnieje nieskończenie wiele ၳ algebr zawierających rodzinę X. U1 jest najmniejszą z nich. TWIERDZENIE 4.1
Z: Ut jest ၳ algebrą na ၗ
T: Ut jest ၳ algebrą na ၗ
D: ad. 1 Ut jest ၳ algebrą პ ၗ ჎Ut მ ၗ ჎ Ut , ad. 2 Niech A჎ Ut მ A჎Ut i ponieważ Ut jest ၳ algebrą, to:
(ၗ\A)჎Ut მ (ၗ\A) ჎ Ut ad. 3 An ჎ Ut მ An ჎ Ut i ponieważ Ut jest ၳ algebrą, to: An჎Ut მ An჎ Ut WNIOSEK 4.1
Jeżeli X jest pewną rodziną podzbiorów zbioru ၗ to najmniejsza ၳ algebra U⊃X. DEFINICJA 4.4 (ၳ ALGEBRA GENEROWANA PRZEZ RODZINĘ ZBIORÓW)
Niech X - rodzina podzbiorów zbioru ၗ; ၳ algebrą generowaną przez rodzinę X będziemy nazywali najmniejszą ၳ algebrę zawierającą X.
TWIERDZENIE 4.2 (WŁASNOŚCI ၳ ALGEBRY)
Z: U jest ၳ algebrą na ၗ
T: 1. ჆ ჎ U, 2. An ჎ U პ An჎U, 3. A, B ჎ U პ A∩B ჎ U, A

(…)

… mierzalnymi w sensie Lebesgue'a. TWIERDZENIE 4.5 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z DOŁU)
Z: U (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą
A1 A2 A3 … wstępujący ciąg zbiorów
A = An T: (A) = (An)
D: A = A1 (A2\A1) (A3\A2) … są parami rozłączne, zatem (   (A1   (An+1\ An  (
An An+1 პ  ( An+1\ An  (An+1  (An)
( = (A1) + [( Ak+1) -  (Ak)] = (A1) + [((A2)  (A1)+ + (A3) - (A2) +
+ ... +  (An) - (An+1…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz