Addtywne i przeliczalne funkcje zbiorów

Addytywne i i prze l l i icza l lne f funkc j je zb i iorow . . Funkcją zbioru nazywamy każdą funkcję określoną w pewnej rodzinie zbiorow (O wartościach w _ : = [-∞, +∞] ) De f f i in i ic j ja 2 . .1 : : Funkcję μ: R → [0, ∞] określoną w R ε P(S) nazywamy: a) Addytywną lub skończenie addytywną, gdy:  μ (A ∪ B) = μ(A) + μ(B) dla dowolnych A, B ε R takich, że A ∩ B = O A ∪ B ε R b) przeliczalnie addytywną (lub σ - addytywną) gdy:  ___ _ ∞ __ _ =_ ____ ∞ __ dla dowolnego ciągu {A n } ⊂ R takiego, że n A n ε R, A i ∩ A j = O, i≠j. c) subaddytywną, gdy:  μ (A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B) dla dowolnych A, B ε R takich, że A ∪ B ε R d) przeliczalnie subaddytywną, gdy:  ___ _ ∞ __ _ _ μ(A n ) dla dowolnego {A n } ⊂ R takiego, że _ ∞ __ ε R De f f i in i ic j ja 2 . .2 (M i iara) : : Miarą na σ - algebrze Σ w zbiorze S nazywamy funkcję μ: Σ → [0, ∞] taką, że: a) μ(O) = 0 b) μ __ __ ∞ __ = Σ ____ ∞ __ dla dowolnego ciągu {A i } ⊂ Σ takiego, że A i ∩ A j = O dla i≠j, i, j ε ℕ Uwaga : :  Zbiory ktore są elementami danej σ - algebry Σ w zbiorze X nazywamy mierzalnymi  Mowimy, że zbior A ε Σ ma miarę σ - skończoną, jeżeli: ∃ {A n } ⊂ Σ : A = _ _ ∞ __ ∀ n : μ(A n ) ... zobacz całą notatkę