Klasy zbiorów

k l lasy zb i iorow Jeżeli S jest zbiorem to P(S) = 2 S oznacza zbior potęgowy. P(S): = {A: A ε S} Wśrod rodzin R ⊂ P(S) wyrożnia się przede wszystkim następujące rodziny:  Połpierścienie  Pierścienie  Algebry  σ - algebry Notacja: Gdy △ oznacza jedną z operacji elementarnych na zbiorach, tj. ∪ , ∩ , \, × to symbol R 1 △ R 2 : = {A △ B: A ε R 1 , B ε R 2 } R △ X : = {A △ X: A ε R } gdzie R 1 , R 2 , R oznaczają rodziny zbiorow. De f f i in i ic j ja 1 . .2 : : Niepustą rodzinę R ⊂ P(S) nazywa się połpierścieniem (podzbiorow zbioru S), gdy: 1. O ε R 2. (A, B ε R ) ⇒ (A ∩ B) ε R) (R ∩ R ⊂ R ) - rodzina zamknięta na przekroj 3. Jeżeli a, B ε R to istnieją takie zbiory parami rozłączne C 1 , C 2 , …, C n ε R, że A\B = _ _ _ __ De f f i in i ic j ja 1 . .2 : : Niepustą rodzinę R ⊂ P(S) nazywa się pierścieniem, gdy: 1. A, B ε R ⇒ A ∪ B ε R (R ∪ R) ⊂ R 2. R \R ⊂ R Uwaga : : Każdy pierścień R jest połpierścieniem A, B ε R ⇒ O = A\A A ∩ B = A \ (A\B) ε R De f f i in i ic j ja 1 . .3 : : Pierścień A podzbiorow w S nazywa się algebrą gdy S ⊂ A. Tw i ierdzen i ie 1 . .1 : : Dla dowolnej algebry A podzbiorow zbioru S istnieje pierścień R ktory nie jest algebrą w S taki, że: A = R ∪ (S\R) gdzie S\R = {S\A, gdzie A ε R} De f f i in i ic j ja 1 . .4 : : Niepustą rodzinę Σ ⊂ P(S) nazywamy σ - algebrą, gdy: 1. S ε Σ 2. A ε Σ to A' : = S\A ε Σ 3. ___ __ ∞ ε Σ ⇒ _ _ ∞ __ ε Σ Uwaga 1 : : Z praw de Morgana ( A n )' = ⋂ A' n oraz ( ⋂ A n )' = A' n wynika, że warunek 2. jest rownoważny warunkowi 3. {A n } ⊂ Σ ⇒ ⋂ n A n ε Σ Uwaga 2 : : {O, X} - najmniejsza σ - algebra w X P(X) - największa σ - algebra w X ... zobacz całą notatkę