Wykład miara Legebsue'a

Aby zbudować miarę Lebesgue'a będzie nam potrzebna miara zewnętrzna. To jest też związane z zagadnieniem o rozszerzeniu funkcji addytywnej do miary.
Miara zewnętrzna
X, 2 X Niech będzie algebrą, niekoniecznie -algebrą w X : (A n ), A n A n A m (n m) (A)= A X aby ten zbiór można pokryć zbiorami elementów ze zbioru np. A 1 =x, A 2 =A 3 =…= A Na wszystkich podzbiorach można określić funkcję
*(A) (min to inf)
Miara zewnętrzna jest miarą tlyko z nazwy i ma ona następująca własności, które ją charakteryzują :
*(A) 0 A X
*( )=0
*(A) *(B), A B
*( ) Dalej można analogicznie wprowadzić pojęcie miary wewnętrznej
Rozpatrujemy te zbiory A X spełniające następujący warunek tzw. warunek Caratheodory'ego
(*) *(E) = *(E A) + *(E\A) E X
Klasa takich zbiorów zapisujemy ( ):={A 2 X : A spełnia (*)}
Tw. (Caratheodory'ego)
( ) jest -algebrą, która ( ) Miara zewnętrzna zawęrzona na tę klasę
*/ ( ) : ( ) Rozszerzenie funkcji addytywnej do miary w sensie Caratheodory'ego
Miara ta ma dodatkową własność tzn. miara ta jest zupełna
(A)=0 B A = (B) = 0
Jeśli robimy tą procedurą dla 1 (prosta) to ( ) - algebra Lebesgue'a
(*) b-a = - miara Lebegue'a (standardowa)
Uogólniamy 1 1 rosnąca = (b)- (a) -ciągła
Rozszerzamy ([a,b]) = miara Lebesgue'a - Stieltiasa
Na bazie tej miary buduje się całki
UWAGA Miara Lebesgue'a oraz miara L-S ma własność regularności
(G)=sup (F), F G(zwarte, ograniczone i domknięte)
(G)=inf (U), G U (U-zb. otwarte)
CAŁKA LABESGUE'A
Całkowanie funkcji prostych (X, )
f= Ai gdzie c i ( ) , A i mierzalna, A i A j = (i j) , = przykład
funkcja prosta X=[0,1]
f(x)= f=1* ( =A 1 )+ 0* ( A 2 )
A 1 A 2 = A 1 A 2 =[0,1]=X
(1') f Ai W(x) x X
-prawie wszędzie A X (A)= f g f(x)=g(x), x X -prawie wszędzie (wszędzie tam gdzie miara jest różna od 0)
dla funkcji Dirichleta (funkcja charakterystyczna)
f g 0
({x})=0 = ( )=0
Zbiór funkcji prostych : zb. Ten tworzy przestrzeń liniową nad ( ) Wprowadzamy normę inf{c /|f| c, x X, -p.w. } ( =sup|f|)
Własności:
0 f 0 f(x)=0, x X
| | , ( ), f + d(f,g) ) -przestrzeń unormowana ... zobacz całą notatkę