To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Całka Lebesgue'a
Całkowanie funkcji prostych
f:X f= A k =X, A i k A j = (k j)
(X, ) (x) ([a,b], ([a,b]), ) ([ ])= Wszystkie funkcje charakterystyczne są mierzalne = f.proste mierzalne
- zb. f. prostych mierzalnych f=g f(x)=g(x), x X -p.w. f(x)=g(x) x X\ i ( ) =0 ( = f g )
Odległość między dwoma punktami d(f,g) , ( ) , - nie jest przestrzenią zupełną (c. Cauchy'ego)
Ale nie ma granicy w Jeżeli ciąg Cauchy'ego ma granicę to jest przestrzenią zupełną np. ( ), ( ) (zobacz tw. O funkcji prostej)
f. mierzalne i dla których ograniczona
{f } ( przestrzeń zupełna
Stw. Każda funkcja mierzalna i ograniczona
Całka funkcji prostej określonej wzorem (1) f:X Można pokazać że def jest `dobra'
(2) nie zależy od podziału zb. Wł. Liniowa: | ……
| | Całkowanie funkcji ograniczonych f-mierzalna i ograniczona
f ze względu na to że f. proste są gęste w = = ,
Jeżeli ciąg jest zbieżny to ciąg jest typu Cauchy'ego =( )-c.C. o ile f. proste to def. Całka wg wzoru (2)
Rozpatrujemy ciąg liczbowy ( )
| |= | | =( ) - c. Cauchy'ego = = I (3)
I nie zależy od wyboru ciągu ( ): = Dla n 1 Wtedy = | | = Wtedy Własności:
, f,g | | F f(x) g(x) (x )= m M m M f , x= , = Niech A , A [A zb. mierzalny]
, f - miara na X (X, )
(A)=0 = absolutna ciągłość ze wzglęsu na miarę - absolutna c. = (Tw.Radona - Nikodyma)
(…)
…
Całka Lebesgue'a
Całkowanie funkcji prostych
f:X f= Ak =X, Aik Aj = (k j)
(X, ) (x) ([a,b], ([a,b]), ) ([ ])= Wszystkie funkcje charakterystyczne są mierzalne => f.proste mierzalne
- zb. f. prostych mierzalnych f=g f(x)=g(x), x X -p.w. f(x)=g(x) x X\ i ( ) =0 ( = f g )
Odległość między dwoma punktami d(f,g) , ( ) , - nie jest przestrzenią zupełną (c. Cauchy'ego)
Ale nie ma granicy w Jeżeli ciąg…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)