Sumowalność przestrzeni Lebesgue'a wykład

WYKLAD 15
Sumowalność przestrzeni Lebesgue'a ; ; -f.mierzalna
-porównywanie elementów(miara): g , =0;
-zawieranie niegęste, ③- wiemy,że możemy całkować ; ③ ; weźmy wprowadzamy nową funkcję: Własności: 1. stąd mogę całkować : z 1. i 2. z tw.Weiestrassa wynika,że:
; przypadek: 1. - -f.nie jest sumowalna na X; przypadek: 2.- -f. sumowalna na X ze względu na miare ; w obu przypadkach : d ; 1. ; 2. całka zbieżna; ④- , , - , (n=1,2,…)
[ , , (n=1,2,….)] gdzie Wtedy: , stąd: ciąg rosnący z kryt.Weiestrassa) , ( niesumowalna dla = sumowalna dla ; ) ; w obu przypadkach deklarujemy z def.: ⑤- , wprowadzamy nowe funkcje: ; 2) ; z 1)i 2) f(x)= (x)- (x ); ; (*)
wzór (*) ma sens, gdy przynajmniej jedna z tych funkcji jest sumowalna, gdy obie funkcje są niesumowane to (*) nie ma sensu.
f-sumowalna -sumowalna; [na (*)-wszystkie własności całki Lebesgue'a]
Tw.Lebesgue'a - jeżeli ciąg( ) jest ciągiem f mierzalnych ze względu na miare oraz punktowo ciąg jest zbieżny prawie wszędzie: i istnieje funkcja sumowalna na X, taka że , to f jest sumowalna na X, przy czym: ... zobacz całą notatkę