Analiza matematyczna - strona 5

WYKŁAD 1 Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej LEMAT 1.1 (Fermata, o zerowaniu się pochodnej) Z: T: Dowód jest następujący: Niech dla przykładu: Wiemy wówczas, że: Stąd dla : . Natomiast dla : , a wobec faktu, że granica przy istnieje, wnioskujemy, że . (Dowód dla min jes...

WYKŁAD 11 OBLICZANIE GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Niech będzie dana funkcja: Będziemy badać granicę: Do punktu na płaszczyźnie można zmierzać po dowolnej krzywej kończącej się w punkcie (x0, y0). y (x0, y0) x Jeżeli wprowadzimy współrzędne biegunowe to zauważymy, że: UWAGA: Jeżeli dla każde...

WYKŁAD 12 TWIERDZENIE 12.1 (RÓŻNICZKA ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ) Z: - przestrzenie Banacha - suriekcja - odwzorowanie x różniczkowalna w x różniczkowalna w u x ) T: różniczkowalna w x i zachodzi wzór: ( | ) ozn. - złożenie dwóch odwzorowań...

WYKŁAD 13 TWIERDZENIE 13.1 Z: : Rn Y , Y - przestrzeń Banacha - dwukrotnie różniczkowalna w T: = Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie , to pochodne mieszane w tym punkcie są równe. WNIOSEK 13.1 Jeżeli w ot( ) (w pewnym otoczeniu punktu ) pochodne mieszane są określone i są ciąg...

SZEREGI LICZBOWE (c.d.) TWIERDZENIE 16.1 (KRYTERIUM D'ALAMBERTA) Z: T: Jeżeli to - zbieżny Jeżeli to - rozbieżny Jeżeli - przypadek wątpliwy (tzn. kryterium nie rozstrzyga czy jest zbieżny czy rozbieżny). Dowód: Ad.1. Niech g (…) … SZEREGI LICZBOWE (c.d.) TWIERDZENIE 16.1 (KRYTERIUM D'ALAMB...

WYKŁAD 17 WŁASNOŚCI SUM NIESKOŃCZONYCH PRZYKŁAD 17.1 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 0 Na ogół w sumach nieskończonych nie wolno grupować wyrazów. TWIERDZENIE 17.1 Jeżeli szereg jest zbieżny to wolno grupować wyrazy i otrzymany szereg będzie zbi...

WYKŁAD 18 SZEREGI POTĘGOWE Niech fn : K ဧ x ႾႮ fn (x) = an (x-x0)n , (an)n჎N ჌ K K - zbiór liczb zespolonych, lub rzeczywistych. W przypadku ogólnym an może być dowolnym ciągiem z przestrzeni Banacha. DEFINICJA 18.1 (

WYKŁAD 19 Podczas tego wykładu zakładamy : DEFINICJA 19.1 (FUNKCJE ANALITYCZNE) Niech: - obszar Funkcja f jest analityczna na Ω Co oznacza, że funkcja jest analityczna jeżeli lokalnie daje się rozwinąć w szereg potęgowy. UWAGA: Nie jest...

WYKŁAD 2 Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. Metody całkowania. DEFINICJA 2.1 ( ZBIÓR WYPUKŁY ) IR2 ⊃ A - wypukły : odcinek o końcach x, y zawiera się w A. PRZYKŁAD FIGURY NIEWYPUKŁEJ: x y DEFINICJA 2.2. (WYPUKŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI) jest zwrócona wypukłością ku górze : nad krzywą znajdu...

WYKŁAD 20 DEFINICJA 20.1 L2 [a,b] - zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem UWAGA 20.1 Funkcje różniące się na zbiorze miary zero będziemy utożsamiać. UWAGA 20.2 (L2[a,b], +, R, *) - jest przestrzenią wektorową. TWIERDZENIE 20.1 Od...