To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 1
Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
LEMAT 1.1 (Fermata, o zerowaniu się pochodnej)
Z: T: Dowód jest następujący: Niech dla przykładu: Wiemy wówczas, że: Stąd dla : .
Natomiast dla : ,
a wobec faktu, że granica przy istnieje, wnioskujemy, że .
(Dowód dla min jest analogiczny.)
TWIERDZENIE 1.1 (Rolle'a) Jeśli funkcja jest określona i ciągła w przedziale domkniętym , istnieje pochodna skończona przynajmniej w przedziale otwartym i na końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości, wówczas między i można znaleźć taki punkt , że .
Z: T: Dowód obejmuje dwa przypadki:
1º Funkcja jest stała. Wówczas:
2º Funkcja jest różnowartościowa ( ). Dla dowodu przyjmijmy, że: ,
a ponieważ funkcja jest ciągła i przyjmuje takie same wartości na krańcach przedziałów, wobec tego . Stąd na podstawie Lematu 1.1 wnioskujemy, iż
.
TWIERDZENIE 1.2 (Cauchy'ego) Jeśli funkcje i są określone i ciągłe w przedziale domkniętym , istnieją pochodne skończone przynajmniej w przedziale otwartym i w przedziale , wówczas między i można znaleźć taki punkt , że: Z: T: Dowód: Wiedząc, że wnioskujemy, iż . Możemy zatem wprowadzić nową funkcję:
.
Możemy wyliczyć , oraz . A ponieważ z własności kombinacji funkcji ciągłych wnioskujemy, że , przeto możemy zastosować twierdzenie 1.1:
.
Wyliczając pochodną , przyrównując ją do zera i przekształcając, otrzymujemy tezę.
TWIERDZENIE 1.3 (Lagrange'a, szczególny przypadek twierdzenia Cauchy'ego) Z: T: Dowód: Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy'ego, dla .
Inne postacie twierdzenia Lagrange'a.
(…)
… ( ). Otrzymujemy:
TWIERDZENIE 1.5 (MacLaurina)
Z: T: , gdzie .
NIESKOŃCZENIE MAŁE
DEFINICJA 1.1
Jeżeli oraz , wówczas nazywamy nieskończenie małą w .
PRZYKŁAD 1.2 Funkcje
są nieskończenie małe w otoczeniu w otoczeniu .
DEFINICJA 1.2
Niech - nieskończenie małe w ,
1. i mówimy, że jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż .
2. i są nieskończenie małe w otoczeniu tego samego rzędu 3. i są nieskończenie małe w otoczeniu równoważne
.
UWAGA 1.1
Reszta we wzorze MacLaurina jest w otoczeniu zera nieskończenie małą rzędu wyższego niż , co zapisujemy:
.
Uzasadnienie:
WNIOSEK 1.2
Tezę twierdzenia MacLaurina można zapisać w następujący sposób:
, gdzie jest tzw. resztą Peano.
PRZYKŁAD 1.3
1º 2º Analogicznie postępując jak wyżej możemy wyprowadzić wzór na cos x.
.
…
… 1.1
WNIOSEK 1.1
Z: , gdzie oraz .
T: PRZYKŁAD 1.1 Obliczymy . Przyjmujemy , , i obliczamy:
A więc: .
TWIERDZENIE 1.4 (Wzór Taylora)
Z: T: ,
gdzie nazywamy resztą Lagrange'a.
Dowód: Przyjmiemy . Wprowadzimy nowe funkcje:
, gdzie ,
.
Na podstawie swoich własności obie te funkcje spełniają założenia twierdzenia Cauchy'ego. Obliczmy ich pochodne:
,
.
Zauważmy teraz, że: Wykorzystamy teraz twierdzenie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)