pochodne wyższych rzędów - omówienie

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW. Pochodną pochodnej nazywamy pochodną drugiego rzędu i oznaczamy f”: , itd. Używamy oznaczeń f', f”, f”', f(4),…,f(n). Mówimy, że f jest klasy Cn, jeśli ma ciągłą pochodną n-tego rzędu. Mówimy, że f(a,b)→R jest wypukła (wklęsła) jeśli .
Twierdzenie: Załóżmy, że f ma pochodną drugiego rzędu w (a,b). Wówczas f jest wypukła (wklęsła) w (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy . Szkic dowodu: załóżmy, że f jest wypukła: x1

(…)

…
POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW. Pochodną pochodnej nazywamy pochodną drugiego rzędu i oznaczamy f”: , itd. Używamy oznaczeń f', f”, f”', f(4),…,f(n). Mówimy, że f jest klasy Cn, jeśli ma ciągłą pochodną n-tego rzędu. Mówimy, że f(a,b)→R jest wypukła (wklęsła) jeśli .
Twierdzenie: Załóżmy, że f ma pochodną drugiego rzędu w (a,b). Wówczas f jest wypukła (wklęsła) w (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy . Szkic dowodu: załóżmy, że f jest wypukła: x1<x2<x3; α1<α2<α3; tgα1<tgα2<tgα3; f'(x1)<f'(x2)<f'(x3). Zatem f' jest rosnąca. Zatem f” jest dodatnia (≥). Jeśli f jest wypukła w (x0-ε, x0) i wklęsła w (x0, x0+ε) lub na odwrót, to x0 jest punktem przegięcia. Wniosek: Jeśli x0 jest p. przegięcia wykresu f to f”(x0)=0 (o ile istnieje). Jest to warunek konieczny. Natomiast warunkiem wystarczających na to, aby x0 był p. przegięcia jest zmiana znaku drugiej pochodnej w otoczeniu x0.
Zagadnienie aproksymacji:
Z definicji pochodnej ; . Wynika stąd, że prosta o równaniu przybliża wykres funkcji f w pobliżu punktu . ; dla x bliskich ; dla x bliskich . Oznaczamy . Wówczas . przy czym . Mówimy, że reszta r(x) jest nieskończenie mała rzędu wyższego niż 1 w p. . Twierdzenie Taylora. Załóżmy, że f jest klasy Cn w przedziale (a,b), oraz . Wówczas różnica jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż 1 w p. , tzn. . Zatem wielomian Wn(x) przybliża bardzo dokładnie f w otoczeniu p. . Wzór: nazywamy wzorem Taylora. Jeśli = 0, to otrzymujemy wzór Maclaurina: . Dowód tw. Taylora. … (po n krokach) = . Uwaga: Resztę we wzorze Taylora można wyrazić w postaci Lagrange'a: , gdzie c jest punktem pośrednim między x i x0. Pozwala to na oszacowanie dokładności przybliżenia.
…
... zobacz całą notatkę