Ćwiczenia - Twierdzenia o pochodnych - Punkt przegięcia

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 693
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ćwiczenia -  Twierdzenia o pochodnych - Punkt przegięcia - strona 1 Ćwiczenia -  Twierdzenia o pochodnych - Punkt przegięcia - strona 2 Ćwiczenia -  Twierdzenia o pochodnych - Punkt przegięcia - strona 3

Fragment notatki:

6. Twierdzenia o pochodnych
Niech . Wtedy obliczając pochodną we wszystkich możliwych punktach , możemy utworzyć nową funkcję, zwaną funkcją pochodną , gdzie jest dziedziną pochodnej. Dla przykładu:: , , , , , .
Pochodną będziemy od teraz nazywać pochodną pierwszego rzędu albo pierwszą pochodną.
Pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji definiujemy następująco
,
czyli jako pochodną pierwszej pochodnej.
Dla przykładu
, , , , , ,
, , .
Ogólniej:
Pochodną -tego rzędu ( -tą pochodną) funkcji definiujemy następująco
, czyli jako pochodną ( )-ej pochodnej.
Uwaga
W tym kontekście funkcję można traktować jako pochodną rzędu zerowego (zerową pochodną).
Dla przykładu mamy , , , Uwaga
Pochodną oznacza się także symbolami lub .
Prawdziwe jest następujące twierdzenie
Twierdzenie 6.8 (Taylora)
Niech ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie w punkcie oraz istnieje pochodna dla dowolnego . Wtedy istnieje taki, że prawdziwy jest wzór, zwany wzorem Taylora
,
dla dowolnego .
Uwagi
Przy otrzymujemy znany wzór Lagrange'a, a mianowicie
czyli .
Przy wzór Taylora ma postać
.
Szczególnym przypadkiem wzoru Taylora jest wzór MacLaurina, otrzymany z wzoru Taylora przy , tzn.
oraz jego szczególne przypadki
,
.
Wzory MacLaurina dla funkcji
Powyższe wzory podaje się również w postaci przybliżonej
,
.
Wzór pierwszy pozwala podać kolejne przybliżenia liczby e (przyjmując ):
,
,
, itd.
Do rachunków przybliżonych można także użyć wzoru Taylora. Dla przykładu jeżeli chcemy policzyć , to przyjmując we wzorze Taylora przy postaci
kolejno , , , , mamy
.
Lepszy wynik uzyskujemy przy ze wzoru
przyjmując , , , , , z tablic 10-cyfrowych mamy
.
Twierdzenie Taylora jest podstawą do następującego twierdzenia:


(…)

… w przedziale .
Jeżeli jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale oraz dla każdego zachodzi , to ma wykres wklęsły w przedziale .
Przykład
Określić przedziały wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji . Ponieważ oraz , to
ma wykres wypukły w przedziale ,
ma wykres wklęsły w przedziale .
Niech .
Punkt nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji , jeżeli ma wykres wypukły w oraz ma wykres wklęsły w albo ma wykres wklęsły w oraz ma wykres wypukły w .
Twierdzenie 6.11 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli
ma drugą pochodną w punkcie ,
punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji ,
to .
Przykład
Niech . Funkcja spełnia warunki twierdzenia, a więc .
Uwaga
Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji , która spełnia w punkcie warunek , ale ma ekstremum w tym punkcie, czyli punkt nie jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.
Twierdzenie 6.11 (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli
ma drugą pochodną w zbiorze ,
,
dla oraz dla albo
dla oraz dla ,
to punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji .
Przykłady
Niech . Ponieważ , a więc mamy kolejno
, dla oraz dla ,
co oznacza, że jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.
Niech . Ponieważ , a więc mamy kolejno…
… , , , , , z tablic 10-cyfrowych mamy
.
Twierdzenie Taylora jest podstawą do następującego twierdzenia:
Twierdzenie 6.9 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Niech spełnia warunki
ma pochodną pierwszego i drugiego rzędu w punkcie ,
,
, to , przy czym , gdy albo , gdy .
Przykłady
Niech . Mamy , skąd wynika, że . Ponadto , a więc , gdyż oraz , gdyż .
Niech . Mamy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz