To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 2
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. Metody całkowania.
DEFINICJA 2.1 ( ZBIÓR WYPUKŁY )
IR2 ⊃ A - wypukły : odcinek o końcach x, y zawiera się w A.
PRZYKŁAD FIGURY NIEWYPUKŁEJ:
x
y
DEFINICJA 2.2. (WYPUKŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI)
jest zwrócona wypukłością ku górze : nad krzywą znajduje się zbiór wypukły.
PRZYKŁAD FUNKCJI WYPUKŁEJ KU GÓRZE
y
x
jest zwrócona wypukłością ku dołowi : pod krzywą znajduje się zbiór wypukły.
WNIOSEK 2.1
Z: f∈C1 (]a,b[) f: ]a,b[ →IR
T: 1o f - wypukła ku górze w ]a,b[ f(x)f(xo)+f '(xo)(x- xo)
( czyli: w każdym punkcie krzywej wykres jest nad styczną poprowadzoną w tym punkcie)
a b
2o f - wypukła ku dołowi w f(x) 0 ⇒ f wypukła ku górze
2o f ''(x) 0
⇓
ad. 2o ( )
(…)
…
= =
= ostatecznie: Typ 3. - całkujemy dwukrotnie przez części - całka dwumienna =
= I= 2I= I= CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
10 n m to = 20 n < m Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
dla = → rozkładamy na ułamki proste :
= +...+
↓
ułamki proste I-go rodzaju
od 1 do k potęg
↓ ułamki proste II-go rodzaju
PRZYKŁAD 2.6
I= st. licznika < st. mianownika
(przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach po lewej i prawej stronie równania)
a) CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH I-GO RODZAJU
=
(dla k>1)
b) CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH II-GO RODZAJU
= =
= = = Ostatecznie:
I= …
…
T: 1o f ''(x) > 0 ⇒ f wypukła ku górze
2o f ''(x) < 0 ⇒ f wypukła ku dołowi
D: , Biorąc rozwinięcie funkcji wg wzoru Taylor'a w otoczeniu xo , dla n=1
takie, że
f(x)=f(x0) + f '(x0)(x- x0) + ( )
ad. 1o ( ) >0
⇓
ad. 2o ( ) <0
⇓
WNIOSEK 2.3 (WARUEK WYSTARCZAJĄCY EKSTREMUM)
Z: T: - minimum lokalne
- maksimum lokalne
DEFINICJA 2.3 (PUNKT PRZEGIECIA (p.p.))
- nazywa się punktem przegięcia wykresu funkcji - jest wypukła ku górze / dołowi, oraz w przedziale - jest wypukła ku dołowi / ku górze.
WNIOSEK 2.4
Z: ∧ - p.p.
T: D: jest to bezpośredni wniosek z wniosku 2.2. oraz z własności Darboux.
WNIOSEK 2.5
Z: , ∧ (< 0) (>0)
T: - jest punktem przegięcia wykresu TWIERDZENIE 2.1 (DE L'HOSPITALA)
Z: (1) ∨ (2) T: D: ,bo dla (1) - spełniają założenia twierdzenia Cauchy'ego ⇒ RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
f: IR→IR
DEFINICJA 2.4 (FUNKCJA PIERWOTNA)
F : IR→IR - pierwotna do f na U⊂IR : DEFINICJA 2.5 (CAŁKOWALNOŚĆ W SENSIE NEWTONA)
f - całkowalna w sensie Newtona na U: f posiada funkcję pierwotną na U.
LEMAT 2.1
Z: f - całkowalna w sensie Newtona na U
F,G - funkcje pierwotne do f na U
T: F(b) - F(a) = G(b) - G(a)
D: F(x)=G(x)+C ⇒ F(b)-F(a)=G(b)+C-(G(a)+C)=G(b)-G(a)
DEFINICJA 2.6 (CAŁKA NEWTONA)
f…
…)) jest pierwotną do (w naszej tezie)
PRZYKŁAD 2.1
PRZYKŁAD 2.2
= = (nie może się zdarzyć, aby dwie zmienne występowały naraz pod całką)
PRZYKŁAD 2.3
=(*) (*)= =
(zła metoda!!!)
(**) dla dobra przykładu nie piszemy = komentarz : = = ((x ⇒ sint ⇒ t=arcsinx)) = CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
Z: f, g ∈ T: D: T Typ 1.
=(całkujemy tak, żeby obniżać stopień wielomianu)
PRZYKŁAD 2.4
=
= =
= - =
= - Typ 2.
= = PRZYKŁAD 2.5…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)