To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
8. CAŁKI OZNACZONE 8.1 DEFINICJE I OZNACZENIA Def. 8.1.1 (podział odcinka)
Podziałem odcinka [ a , b ] na n części nazywamy zbiór
,
gdzie a = x 0
(…)
… tk z prędkością stałą gdy .
.
Droga S jest polem trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji v, osią Ot oraz prostymi t = , t = (rys. 8.3.1).
Rys. 8.3.1
Ilustracja drogi przebytej w ruchu zmiennym
8.4 PODSTAWOWE TWIERDZENIA
Tw. 8.4.1 (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.
Uwaga. Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcja ciągła na przedziale jest na tym przedziale całkowalna. Z drugiej strony funkcja całkowalna na przedziale może mieć nieskończenie wiele punktów nieciągłości. Przykładem takiej funkcji jest .
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [0,1], ale w punktach jest nieciągła.
Fakt 8.4.2 (obliczanie całek przy pomocy…
… oraz
.
Uwaga. Gdy x0 = a lub x0 = b, to oznacza tu pochodną jednostronną.
Uwaga. Operacja całkowania (ze zmienną granicą całkowania) przekształca funkcję ciągłą na przedziale w funkcje różniczkowalne na tym przedziale.
9. ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
9.1. ZASTOSOWANIA W GEOMETRII
Fakt 9.1.1 (pole trapezu krzywoliniowego)
Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [a,b] oraz niech d(x) < g(x) dla każdego…
… całkowalna. Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (def. 0.12.3) rozważana na przedziale [0,1].
8.2 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
1. Pole trapezu krzywoliniowego
Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji nieujemnej f, osią Ox oraz prostymi x = a, x = b. Pole |D| trapezu krzywoliniowego jest granicą sumy pól prostokątów Dk aproksymujących ten trapez…
…], to
,
gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na przedziale [a,b].
Uwaga. Zamiast będziemy pisali lub .
Tw. 8.4.4 (o liniowości całki oznaczonej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a,b] oraz cR, to
a) funkcja f + g jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
,
b) funkcja cf jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz
.
8.5 METODY OBLICZANIA CAŁEK OZNACZONYCH
Tw. 8.5.1 (o całkowaniu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)