To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 13
TWIERDZENIE 13.1 Z: : Rn Y , Y - przestrzeń Banacha
- dwukrotnie różniczkowalna w T: = Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie , to pochodne mieszane w tym punkcie są równe.
WNIOSEK 13.1 Jeżeli w ot( ) (w pewnym otoczeniu punktu ) pochodne mieszane są określone i są ciągłe w punkcie , to są one równe.
DEFINICJA 13.1 (ODCINEK)
Niech , , - wektor
Odcinek domknięty o końcach i :
[ , ] = { : , 0 1 }
Odcinek otwarty o końcach i ] , [ = { : , 0
(…)
… o końcach i :
[ , ] = { : , 0 1 }
Odcinek otwarty o końcach i ] , [ = { : , 0< <1 }
DEFINICJA 13.2 (ZBIÓR WYPUKŁY)
- wypukły : [ ] TWIERDZENIE 13.2 (WZÓR TAYLORA)
Z: , - wypukły
, , - tzn. funkcja jest m-krotnie różniczkowalna na ,
m-ta różniczka jest funkcją ciągłą
T: = + + + ... + + Dowód:
Niech: , Pokażemy, że spełnia założenia twierdzenia Taylora w [0,1] i że k-ta pochodna w punkcie t jest równa k-tej różniczce, czyli: .
Niech:
∋ t Zauważmy, że: Wiadomo, że :
d Z drugiej strony:
d , bo Z powyższego wynika: Analogicznie można pokazać: . Dla t = 0 Z faktu, że wynika, że jest klasy , - jest klasy Cm - z tego wynika, że jest klasy Cm na odcinku [0,1].
Są więc spełnione założenia twierdzenia Taylora dla w [0,1]
Dla t = 0, h = 1 wzór Taylora przedstawia się następująco:
Zatem: DEFINICJA 13.3 (EKSTREMUM LOKALNE)
Niech Powiemy, że funkcja f osiąga w x0 należącym do dziedziny maksimum (minimum) lokalne
TWIERDZENIE 13.3 (WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM)
Z: - różniczkowalna w pewnym U - osiąga ekstremum w T: Dowód :
Wiadomo, że:
Można zauważyć:
funkcja osiąga ekstremum w - osiąga ekstremum w punkcie t = 0 WNIOSEK 13.2 Z: - różniczkowalna w - osiąga ekstremum w T: , tzn. wszystkie pochodne cząstkowe…
… w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu i - określona dodatnio + (ujemnie - )
T: - min. (max.) lokalne.
Określamy macierz drugiej różniczki i minory główne:
Niech Macierz formy kwadratowej ma postać:
Minory główne tej macierzy są postaci:
WNIOSEK 13.4 (WARUNEK WYSTARCZAJACY)
Z: Jeżeli , , (zakładamy, że spełniony jest warunek konieczny)
T: 1. - min. lokalne
2. - max. lokalne
PRZYKŁAD 13.1 Sprawdzamy w-k
Po dodaniu stronami otrzymujemy:
Po podstawieniu:
Ostateczne rozwiązanie:
Sprawdzamy warunek wystarczający:
| || ||| | || ||| | || ||| -jest to tzw. przypadek wątpliwy
Zatem: - minimum lokalne ( identycznie w punkcie )
FUNKCJE UWIKŁANE
PRZYKŁAD 13.2 , Badamy czy istnieje otoczenie punktu , aby część krzywej zawarta w była funkcją zmiennej .
Dla punktów nie istnieje takie otoczenie.
Różniczkujemy stronami…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)