Analiza matematyczna- wykład 19

Nasza ocena:

5
Pobrań: 21
Wyświetleń: 595
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Analiza matematyczna- wykład 19 - strona 1 Analiza matematyczna- wykład 19 - strona 2 Analiza matematyczna- wykład 19 - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 19
Podczas tego wykładu zakładamy :
DEFINICJA 19.1 (FUNKCJE ANALITYCZNE) Niech: - obszar
Funkcja f jest analityczna na Ω Co oznacza, że funkcja jest analityczna jeżeli lokalnie daje się rozwinąć w szereg potęgowy.
UWAGA: Nie jest istotne, czy funkcja jest rozwijalna w ten sam szereg potęgowy na całym Ω
PRZYKŁAD 19.1
Niech , Ze wzoru Maclaurina:
; 0

(…)

… sprawdzenie czy zachodzi 2) może okazać się trudne, ale możemy sprawdzić czy szereg jest zbieżny, gdyż jego zbieżność implikuje 2)
dla wszystkich Zatem 2) jest prawdziwe.
Wobec 1) i 2) jest równe sumie swego rozwinięcia
DEFINICJA 19.2 (EKSPONENTA)
Niech UWAGA:
Jeśli z jest rzeczywiste eksponenta jest identyczna z . Można więc traktować powyższą definicję jako rozszerzenie funkcji na ciało liczb zespolonych…
… pozostaje prawdą, zatem
dla .
DEFINICJA 19.4 (funkcja cosinus)
Niech TWIERDZENIE 19.1 (WŁASNOŚCI FUNKCJI EXP, SIN, COS W CIELE LICZB ZESPOLONYCH)
Funkcje exp, sin, cos są klasy w ciele liczb zespolonych
Dowód:
Ad. 1)
Wynika z faktu, że powyższe funkcje są określone jako sumy szeregów potęgowych klasy o promieniu zbieżności R=+∞
Ad. 2)
; gdzie: - Iloczyn Cauchy'ego szeregów
Zauważmy, że:
Zatem:
Ad. 3…
… faktów pokazują kolejne przykłady:
PRZYKŁAD 19.4
W przykładzie tym wykorzystamy 2) oraz pokażemy zastosowanie twierdzenia, które mówi, że:
Jeśli istnieje skończona granica funkcji w punkcie x0 i szereg potęgowy, w który rozwija się funkcja jest w tym punkcie zbieżny to funkcja jest w x0 równa sumie swojego rozwinięcia
Wyprowadzimy wzór na rozwinięcie w otoczeniu 0
Zakładamy .
Porównując pochodną funkcji…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz