Biotechnologia I sem. M.Twardowska Równania różniczkowe wyższych rzędów 1 Równania różniczkowe wyższych rzędów Równanie y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y + a0 y = f (x) ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Rachunek wektorowy 1 Rachunek wektorowy. • Iloczyny wektorów Niech v1 = [x1 , y1 , z1 ], v2 = [x2 , y2 , z2 ], iloczyn wektorowy: v1 × v...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Geometria analityczna 1 Geometria analityczna R3 . Płaszczyzna w R3 : • równ. ogólne: π : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0, gdzie v = [A, B, C] ⊥ π, zaś (x0 , y0 , z0 ) ∈ π. Prosta w R 3 : ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Układy równań 1 Układy równań liniowych. Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi: (U) co można inaczej zapisać jako ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Funkcje wymierne. 1 Funkcje wymierne - rozkład na ułamki proste. 1. Jeżeli x1 = x2...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Funkcja odwrotna. Funkcje kołowe. 1 Funkcja odwrotna. Funkcje kołowe. 1. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji: 1−x 1+x f ) f (x) = x6 sgn ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Ciągi liczbowe 1 Ciągi i ich granice. • Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli an , bn , cn są takimi ciągami liczbowymi, że dla każdego n ∈ N, lim cn = g, to ciąg bn jest zbieżny i lim bn = g n→∞ an ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica i ciągłość funkcji. sin x x→0 x • Podstawowe granice: lim = 1, lim x→±∞ 1+ 1 x x = e, lim x→±∞ 1− 1 x x = 1, e 1 lim (1 + x) x = e. x→0 • Gdy f...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Pochodna funkcji 1 Pochodna funkcji. f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x • Pochodna funkcji f (x) w punkcie x0 to f (x0 ) = lim • Jeżeli y = f (x) ma pochodną f (x) oraz funkcja z = g(y) ma pochodną g (y...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. 1 Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji. • Tw. Rolle’a Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale a, b to istnie...
