To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Układy równań
1
Układy równań liniowych.
Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi: (U)
co można inaczej zapisać jako
a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
x1
x2
.
.
.
a11 x1 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + . . . + a2n xn = b2
..........................
am1 x1 + . . . + amn xn = bm
b1
b2
= . czyli AX = B. W celu
.
.
bm
xm
am1 am2 · · · amn
rozwiązania stosujemy metodę operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej [A, B] .
Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy
• mnożenie dowolnego wiersza macierzy przez liczbę różną od zera;
• dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza tej macierzy pomnożonego przez dowolną liczbę;
• zamianę dwóch różnych wierszy miejscami.
Jeżeli na macierzy uzupełnionej układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układ odpowiadający
zmienionej przez te operacje macierzy jest równoważny wyjściowemu. Celem tych operacji jest otrzymanie
macierzy, w której pewna ilość wierszy jest zerowych, a po wykreśleniu ich spośród kolumn można wybrać
r takich, które stanowić będą (po ew. przestawieniu kolumn) macierz jednostkową stopnia r. Oznaczając
za parametry wszystkie zmienne, których kolumny współczynników pozostały poza utworzoną macierzą jednostkową możemy z układu wypisać rozwiązania, zależne oczywiście od tych parametrów. Jeżeli w trakcie
dokonywania tych operacji otrzymamy jeden z wierszy postaci [0, 0, ..., 0, a], gdzie a = 0, to rozwiązywany
układ jest sprzeczny.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego. Dany jest układ (U ), czyli AX = B. Przez A oznaczamy
macierz układu, a przez [A, B] macierz rozszerzoną. Niech rz A = r. Wtedy:
◦ albo rz[A, B] = rz A(= r), i wtedy rozwiązanie układu (U ) istnieje i zależy od n − r dowolnych
parametrów (w szczególności, jeżeli r = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie),
◦ albo rz[A, B] = rz A i wtedy układ (U ) jest sprzeczny. Inaczej mówiąc, układ (U) posiada (przynajmniej jedno) rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz A = rz[A, B].
1. Rozwiązać układy równań:
x1 + x2 + x3 = 3
−2x1 + 2x2 + 3x3 = 3
a)
−x1 + 3x2 + 4x3 = 6
x1 − x2 + x3 − x4 = 2
3x1 − x2 − 7x3 + 2x4 = 0
d)
6x1 + 2x2 − x3 − x4 = 3
2x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 4
x1 + 2x3 + 3x4 = 0
x1 + 2x2 + 4x3 + 5x4 = 0
g)
2x1 + 4x3 + 6x4 = 0
3x1 + 2x2 + 8x3 + 11x4 = 0
x1 − x2 + 3x3 = 0
2x1 + x2 + x3 = 0
b)
5x1 + 2x2 − 5x3 = 0
x1 − x2 + 3x3 − x4 = −2
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0
e)
4x1 + 3x3 − 2x4 = −1
3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 = 3
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 1
x1 − x2 + x3 + x4 − x5 = 1
h)
x1 − x2 + x3 + 3x4 − 3x5 = 1
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 − 3x2 − 2x3 + 5x4 = 1
c)
−x1 − 6x2 − 5x3 + 2x4 = 1
f)
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 − x3 − x4 = 1
x1 + x2 + x3 = 2
x1 − x3 = 0
x2 − x3 = −1
i)
x1 − x2 = 1
x1 − x2 − x3 = 0
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Układy równań
2. Rozwiązać układy
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)