Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Geometria analityczna
1
Geometria analityczna R3 .
Płaszczyzna w R3 :
• równ. ogólne: π : A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0, gdzie v = [A, B, C] ⊥ π, zaś (x0 , y0 , z0 ) ∈ π.
Prosta w R
3
:
x = x0 + at
y = y0 + bt , gdzie p0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ l, zaś v = [a, b, c] l
• przedst. parametryczne: l :
z = z0 + ct
• równanie krawędziowe:
• równanie kierunkowe: l :
A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
, gdzie [A1 , B1 , C1 ] × [A2 , B2 , C2 ] = 0
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
, gdzie (x0 , y0 , z0 ) ∈ l, [a, b, c] l.
a
b
c
1. Znaleźć równanie płaszczyzny H,
a) przechodzącej przez punkt P (1, 5, 1) i równoległej do wektorów u1 = [−2, 1, 3] i u2 = [1, 4, −1]
b) przechodzącej przez punkt P (2, 4, −1) i równoległej do płaszczyzny 2x − y − 3z − 1 = 0
c) przechodzącej przez P (3, 5, 7) i prostopadłej do płaszczyzn π1 : x − y + 2z = 1 i π2 : 3x + y − z = −2
d) przechodzącej przez punkty A(2, −1, 3), B(1, 4, 2) i równoległej do wektora u = [3, 1, 5]
e) przechodzącej przez punkty A(−1, 2, 4), B(2, 1, 3), C(3, −1, 5)
x−2
y+1
z−3
x−1
y−2
z+3
f ) zawierającej proste l1 :
=
=
i l2 :
=
=
3
2
−2
3
2
−2
2. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej, przechodzącej przez punkt P (2, 3, 1) oraz:
prostopadłej do płaszczyzny π : 5x − 3y + 2z − 1 = 0
x−y+z =1
i l2 : x = 3t, y = −1 + t, z = −t
b) prostopadłej do prostych l1 :
x + 2y + 3z = 2
x−1
y−3
z
c) prostopadłej do prostej
=
=
i przecinającej prostą x = y = z
2
2
−1
x + 3y − 1 = 0
x+y =0
i l2 :
d) przecinającej proste l1 :
y+z =0
x−y+z+4=0
a)
3. Czy przez proste l1 :
2x + 3y − z − 1 = 0
x + y − 3z = 0
i l2 :
x + 5y + 4z − 3 = 0
x + 2y + 2z − 1 = 0
można poprowadzić płaszczyznę?
4. Znaleźć rzut prostokątny punktu P (1, 2, −2) na płaszczyznę x − 2y + 3z − 1 = 0.
5. Znaleźć punkt symetryczny do punktu P (1, 1, 0) względem płaszczyzny x + 2y − z = 0.
6. Znaleźć rzut prostokątny punktu P (3, 5, 4) na prostą l : x = −2t + 1, y = t, z = 5.
7. Znaleźć punkt symetryczny do punktu P (1, 2, −2) względem prostej l : x = t, y = 2t − 3, z = −t + 2.
8. Znaleźć rzut prostokątny
a)
b)
x
y−1
z+1
=
=
na płaszczyznę x + y + z = 0.
2
−1
2
prostej x = 3 + t, y = −1 + 2t, z = 4 + 4t na płaszczyznę 2x + y + z − 7 = 0.
prostej
9. Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez P (1, 1, −2), prostopadłej do wektora [−1, 3, 4] i przecinającej prostą l :
x−1
y+4
z
=
= .
2
−1
3
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Geometria analityczna
2
10. Znaleźć równanie prostej, przecinającej prostopadle proste: l1 : x = 1 + t, y = −1 − 2t, z = 3 − t i l2 :
x + 4y − z = 0
. Jaka jest odległość między tymi prostymi?
−2y + z + 1 = 0
11. Zbadać wzajemne położenie prostej l i płaszczyzny π . Znaleźć sinus lub cosinus kąta między nimi:
l : x = 2 + t, y = 2t, z = 0
π : x + 2y − 1 = 0
x−y+z+2=0
c)
π : x−1=0
x+y−z−3=0
a)
l : x = 1 − t, y = 1 + t, z = t
π : x+z−3=0
x + y + 2z − 1 = 0
d)
π : x+y+1=0
x + y − 2z + 3 = 0
b)
12. Zbadać wzajemne położenie par prostych; jeżeli leżą na
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)