To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Pochodna funkcji
1
Pochodna funkcji.
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x→0
∆x
• Pochodna funkcji f (x) w punkcie x0 to f (x0 ) = lim
• Jeżeli y = f (x) ma pochodną f (x) oraz funkcja z = g(y) ma pochodną g (y), to funkcja złożona
z = g[f (x)] ma pochodną z = g [f (x)]f (x)
• Jeżeli istnieją pochodne f (x) i g (x) to:
f (x) ± g(x) = f (x) ± g (x)
f (x)
g(x)
f (x) · g(x) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x)
=
f (x) · g(x) − f (x) · g (x)
[g(x)]2
• Pochodne niektórych funkcji elementarnych
f (x)
f (x)
nxn−1
√
n
xn
ex
x
1
√
n
n xn−1
ax
sin x
cos x
ex
ax ln a
cos x
− sin x
1. Policzyć z definicji pochodną funkcji f (x) =
tg x
1
cos2 x
ctg x
1
− 2
sin x
ln x
1
x
loga x
1
x ln a
arc sin x
1
√
1 − x2
arc tg x
1
1 + x2
1
x2 + 1
2. Znaleźć pochodne funkcji:
a) f (x) = sin(x2 sin x)
√
d) f (x) = x ln2 x + ln x2
1+x
g) f (x) = arc tg
1−x
b) f (x) = arc tg(ln x + x)
3
ln(sin x2 )
x
f ) f (x) = logx sin x
c) f (x) =
e) f (x) = cos3 e2x + ln2 tg x
√
1
h) f (x) = x arc sin
x
i) f (x) = xsin x
3. Dla jakich m i n funkcja f (x) jest różniczkowalna:
a) f (x) =
x2 − x − 1 x ≤ 3
nemx
x3
x2
x ≤ x0
mx + n x x0
b) f (x) =
x≤0
4x
ax2 + bx + c 0 2
5. Dobrać parametr a, tak aby krzywa y = a(1 + x2 ) ln(x − 2) przecinała oś Ox pod kątem α.
6. Dla jakich wartości parametru a parabola y = ax2 jest styczna do krzywej y = ln x?
7. Wykazać, że prawdziwe są nierówności:
a) ex
1+x
b)
8. Wykazać, że funkcja f (x) jest stała na przedziale
x
≤ ln(1 + x) ≤ x
1+x
1, +∞),
9. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) =
√
dla x −1
f (x) = 2 arc tg x + arc sin
x2 + 6x w punkcie x0 = 2.
2x
1 + x2
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Pochodna funkcji
2
10. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:
a) f (x) = 4x +
1
x
d) f (x) = x ln2 x
b) f (x) = ex (x + 1)
e) f (x) =
x3
3 − x2
c) f (x) =
x
ln x
f ) f (x) = x − arc sin x
2
11. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
a) f (x) = x3 − 4x2
b) f (x) = x ln x
d) f (x) = xx
e) f (x) = x2 e−x
g) f (x) = x −
√
x
h) f (x) =
3
2x2
c) f (x) =
f ) f (x) =
−
x3
x
x2 + 4
|x2 − 5x
i) f (x) = xe
1
x
− 6|
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)