Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Rachunek wektorowy
1
Rachunek wektorowy.
• Iloczyny wektorów
Niech v1 = [x1 , y1 , z1 ],
v2 = [x2 , y2 , z2 ],
iloczyn wektorowy: v1 × v2 =
iloczyn skalarny:
iloczyn mieszany:
v3 = [x3 , y3 , z3 ]
y1 z1
y2 z2
,−
x 1 z1
x 2 z2
x 1 y1
x 2 y2
,
v1 · v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
v1 · (v2 × v3 ) =
x 1 y1 z 1
x 2 y2 z 2
x 3 y3 z 3
• |v1 · v2 | = |v1 | · |v2 | · cos(∠(v1 , v2 ))
Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero.
• |v1 × v2 | = |v1 | · |v2 | · sin(∠(v1 , v2 ))
Dwa wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne są proporcjonalne.
1. Sprawdzić, czy punkty: A, B, C leżą na jednej prostej.
a) A(−1, 1, 1),
b) A(0, 2, −1),
B(2, 1, 0) i C(0, 1, 0)
B(−2, 4, 1) i C(1, 1, −2)
2. Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.
3. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(−1, 0),
√
B(3, 0) i C(2, 3). Wyznaczyć kąty tego trójkąta.
4. Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach: A(2, −1, 3),
5. Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A(3, 2, 1),
6. Obliczyć pole trójkąta ∆ABC, jeśli A(0, 0, 2),
B(1, 1, 1) i C(0, 0, 5).
B(−1, 6, 5) i C(5, 3, 2) jest prostokątny.
B(2, 1, 1) i C(−1, 1, 0).
7. Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2, 0, 1),
B(1, 3, 2),
−
−
→
C(−1, 2, 0) i D(2, 3, 8).
8. Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: AB = [0, 0, 1],
−
→
−→
−
AC = [−1, 2, 3] i AD =
[2, 5, −1].
9. Znaleźć wektor u, wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów: v = [1, 2, −3] i w = [−1, 4, 2] oraz że
u · [4, 5, 1] = −150.
10. Wektor a = [3, −2, 1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a
drugi równoległy do wektora b = [−1, 4, 5].
√ √
√
√
√
11. Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora a = [ 2, 3, − 5] na wektor b = [− 8, 0, 5].
−
−
→
12. Sprawdzić, czy wektory AB = [−1, 3, −5],
−
→
−→
−
AC = [1, −1, 1] i AD = [4, −2, 0] są współpłaszczyznowe
13. Wektory a i b tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez wektory a
i b.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)