Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy). Diagonalizacja macierzy. Def. 1 Z: (X, K,+, ⋅) – przestrzeń wektorowa f: X X – endomorfizm λ∈K nazywamy wartością własną endomorfizmu f :⇔ istnieje v ∈ X , v ≠ 0 taki, że f(v)=λv Je...
Wektory główne endomorfizmu (macierzy). Postać Jordana. Definicja 1. An×n Wielomian W ( λ ) = am λ m + am −1λ m −1 + ... + a1λ + a0 W ( λ ) nazywamy wielomianem anulującym macierzy A :⇔ W ( A) = am Am + am −1 Am −1 + ... + a1 A + a0 ⋅ I =...
Wykład 10 Wielomiany cd. Niech f (x), g(x) ∈ K[x] będą wielomianami nad ciałem K. Wielomian d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f (x) i g(x) jeśli: 1. d(x) jest unormowany, 2. d(x)|f (x) i d(x)|g(x), 3. jeśli ...
Wykład 7 Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) = f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy: f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x) Przykład (2x + 1)|(6x2 − x − 2). Własno...
Wykład 8 Zadanie Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 4 − (2 − i)4 = 0. Rozwiązanie Z twierdzenia o pierwiastkowaniu liczb zespolonych wynika, że równanie to ma dokładnie cztery rozwiązania (są to czwarte pierwiastki z liczby (2 − i)4 ). Jednym z rozwiązań jest liczba 2 − i. Zgodnie z twi...
Wykład 9 Wielomiany Element a ∈ K nazywamy t-krotnym pierwiastkiem wielomianu f (x) jeśli (x − a)t |f (x) i (x − a)t+1 f (x). Jeśli krotność pierwiastka jest większa od 1 to mówimy, że pierwiastek jest wielokrotny. Pochodną wielomianu f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ K[x] nazy...
Wykład 3 Twierdzenie 1 (Steinitz) Jeśli układ v1 , v2 , . . . , vn jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K i układ wektorów u1 , u2 , . . . , um jest układem wektorów liniowo niezależnych w V to: (i) m n, (ii) jeśli m = n to u1...
Wyznacznik macierzy Uwaga Wyznacznik definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych: a11 , a , A= 21 a n1 , a11 , , a1n a 22 , , a 2n - macierz A a n2 , , a nn a12 , , a1n a12 , a 21 , a 22 , , a 2n a n1 , a n2 , det A = , a nn - wyznacznik macierzy A Wyzna...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd. Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech Ai , Aj będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k ∈ K: det[A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ] = det[A1 , . . . , Ai + kAj , . . . , Aj , . . . , An ] Dowód Udowodniliśmy, że: det...
Wykład 13 Wyznacznik macierzy W zbiorze permutacji Sn określamy funkcję sgn 1 o wartościach w zbiorze {−1, 1}, następująco: 1, gdy permutacja σ jest parzysta −1, gdy permutacja σ jest nieparzysta. sgn(σ) = Niech A będzie macierzą kwadrat...
