wielomiany - wykład 10

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 427
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
wielomiany -  wykład 10 - strona 1 wielomiany -  wykład 10 - strona 2 wielomiany -  wykład 10 - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 10
Wielomiany cd.
Niech f (x), g(x) ∈ K[x] będą wielomianami nad ciałem K. Wielomian
d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f (x) i g(x) jeśli:
1. d(x) jest unormowany,
2. d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
3. jeśli c(x) jest wielomianem, takim że c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to stc std.
Piszemy wtedy d(x) = NWD(f (x), g(x)).
Jeśli f (x) = q(x)g(x) + r(x) to NWD(f (x), g(x)) = NWD(g(x), r(x)).
Algorytm Euklidesa 1
Niech stf stg, wtedy możemy podzielić wielomian f przez g z resztą, a
więc:
f (x) = q(x)g(x) + r(x), 0 str

(…)

… Wykład 10
Wielomiany cd.
Niech f (x), g(x) ∈ K[x] będą wielomianami nad ciałem K. Wielomian
d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f (x) i g(x) jeśli:
1. d(x) jest unormowany,
2. d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
3. jeśli c(x) jest wielomianem, takim że c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to stc std.
Piszemy wtedy d(x) = NWD(f (x), g(x)).
Jeśli f (x) = q(x)g(x) + r(x) to NWD(f (x), g(x…
… < str2 ,
...
ciąg kolejnych reszt ma malejące stopnie, a więc dojdziemy do reszty, której
stopień będzie równy 0, zatem:
rn (x) = qn+2 (x)rn+1 (x) + rn+2 (x),
rn+1 (x) = qn+3 (x)rn+2 (x)
Można też zauważyć, że
NWD(f (x), g(x)) = NWD(r(x), r1 (x)) = . . . = NWD(rn+2 (x), 0),
zatem mamy NWD(f (x), g(x)) = rn+2 (x) a to oznacza, że największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów jest równy ostatniej…
… =
ail blj .
l=1
Inaczej mówiąc element cij z i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy C powstaje przez wymnożenie i-tego wiersza [ai1 , ai2 , . . . , ain ] macierzy A przez


bj1


 bj2 
j-tą kolumnę  .  macierzy B. Mamy zatem:
 .

 .

bjn



cij = [ai1 , ai2 , . . . , ain ] · 


bj1
bj2
.
.
.



 = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj .


bjn
3
Przeanalizujmy mnożenie macierzy
… niezerowej reszcie w
powyższym ciągu. Podobnie jak w przypadku liczb całkowitych można, na
podstawie powyższego algorytmu, rozwiązywać równanie (wielomianowe) postaci:
f (x)v(x) + g(x)u(x) = NWD(f (x), g(x)).
1
Euklides matematyk grecki - dał podwaliny współczesnej geometrii
1
Zadanie Wyznaczyć NWD(x2 , x5 + x + 1).


Zadanie Wyznaczyć liczbę odwrotną do 1 + 3 2 + 3 4.

Rozwiązanie Zauważmy, że liczba 3…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz