Omówienie zagadnień metod numerycznych.

Metody Numeryczne  II rok  II rok Informatyka Stosowana Metody numeryczne 1. Błędy w obliczeniach numerycznych. 2. Rozwiązywanie układów równań liniowych • metoda eliminacji Gaussa – Jordana i Gaussa • metody dekompozycji (LU) 3. Interpolacja • Lagrange’a, Newtona • funkcjami sklejanymi 4. Aproksymacja • aproksymacja liniowa (1 i 2 zmiennych; metoda najmniejszych kwadratów) • aproksymacja trygonometryczna • aproksymacja trygonometryczn • Transformacja Fouriera i FFT 5. Różniczkowanie i całkowanie numeryczne – podstawy. 6. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych i układów równań nieliniowych   (metoda bisekcji, siecznych i stycznych) 7. Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych • metoda Runge – Kutty • metoda predyktor – korektor • zagadnienie brzegowe w równaniach zwyczajnych. 8.      Metoda różnic skończonych – równania pól geofizycznych  Literatura 1. Zbigniew Kosma „Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich”  2. Jerzy Krupka, Roman Morawski, Leszek Opalski „Wstęp do metod   numerycznych – dla studentów elektroniki i technik informacyjnych”  3. Ewa Majchrzak, Bohdan Mochnacki, Metody numeryczne – „Podstawy  teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy” 4. Bogusław Bożek „Metody obliczeniowe i ich komputerowa realizacja” 5. Siegmund Brandt „Analiza danych”  6. Red. Ewa Straszecka „Laboratorium metod numerycznych” 6. Red. Ewa Straszecka „Laboratorium metod numerycznyc 7. Fortuna, Z., Macukow, B., Wąsowski, J., „Metody Numeryczne” Reprezentacja liczb  Liczby całkowite reprezentowane są w postaci stałopozycyjnej  n z i i i N ( ) 2 0 1 2 = ⋅ ⋅ = − ∑α α i  ∈{ , } 0 1 n B i N 1 2 = − + ⋅ − ∑α B N = −   2 1 Obciążenie  B  jest ustalane hardwarowo. 4 3 2 1 0 1 2 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 5678 . 234 − − − − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = Układ dziesiętny ] 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 [ 1001 . 1101 4 3 2 1 0 1 2 3 − − − − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − Układ binarny n B i i i 2 0 2 = − + ⋅ = ∑α B = −       2 1 2 Obciążenie  B  jest ustalane hardwarowo. komputer, który przeznacza 2 bajty na przechowywanie liczb całkowitych  dysponuje zakresem 216 = -32768, 32767 B = − 

(…)

…
odwrotnej jest niepraktyczne z uwagi na dużą liczbę działań.
Numeryczna algebra liniowa – metoda dekompozycji LU
Dekompozycja LU jest stosowana nie tylko do obliczenia macierzy odwrotnej ale również
jako efektywna metoda rozwiązywania układów liniowych (szczególnie dużych!)
A = LU
 1
L
 21
 L31
L=
 .
 .

 LN 1
0
0
.
.
1
0
.
.
L32
1
.
.
LN 2
LN 3
.
.
0 
0 

0 
..



1 
U11 U12 U 13
 0…
… macierzy odwrotnej ale również
jako efektywna metoda rozwiązywania układów liniowych (szczególnie dużych!)
A = LU
 1 0 0 . . 0  U11 U12 U 13 . . U 1N 
L 1 0 . . 0   0 U U 23 . . U 2N 
 21   22 
 L31 L32 1 . . 0   0 0 U 33 . . U 3N 
L= .. U= 
 .   . 
 .   . 
   
 LN 1 LN 2 LN 3 . . 1   0 0 0 . . U NN 
Dekompozycja na macierze tej postaci jest jednoznaczna – jest to tzw…
…
dokładność maszynowa
Można to udowodnić przyjmując liczbę xd = 1.0000
x obl
M
6 +8
71
= 1. 000K1 → błąd bezwzględny taki sam.
Błędy obliczeń numerycznych
Inne rodzaje błędów w obliczeniach numerycznych
a) błędy wejściowe (błędy danych wejściowych)
b) błędy obcięcia
N
∞
xn
xn
ex = ∑
n =0
c)
n!
≈∑
n =0
n!
błędy zaokrągleń
~
~
x − fd ( x) m ⋅ 2c − m ⋅ 2 c sup m − m 2 − ( M +1)
1
=
≤
=
= 2−M = ε m
c
−1
x
m2
inf…
... zobacz całą notatkę