wyznaczniki - wykład 13

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 434
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
wyznaczniki - wykład 13 - strona 1 wyznaczniki - wykład 13 - strona 2 wyznaczniki - wykład 13 - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 13
Wyznacznik macierzy
W zbiorze permutacji Sn określamy funkcję sgn 1 o wartościach w zbiorze
{−1, 1}, następująco:
1, gdy permutacja σ jest parzysta
−1, gdy permutacja σ jest nieparzysta.
sgn(σ) =
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n o współczynnikach z ciała
K (A ∈ Mn (K)) i niech A = [aij ]n×n . Wyznacznikiem macierzy A nazywamy następujący element ciała K:
sgn(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) · · · an,σ(n) .
σ∈Sn
Suma, która określa tan wyznacznik ma n! składników. Każdy składnik jest
iloczynem n elementów po jednym z każdego wiersza i każdej kolumny. Wyznacznik macierzy A = [aij ]n×n oznaczamy przez det(A) lub przez |A|. Czasem, żeby uwypuklić stopień macierzy będziemy mówić o wyznaczniku stopnia n.
Przykład Obliczymy korzystając z definicji wyznacznik macierzy 2 × 2:
A=
a11 a12
a21 a22
Zbiór permutacji S2 składa się z dwóch elementów:
i=
1 2
1 2
, σ1 =
1 2
2 1
,
permutacja i jest parzysta, a permutacja σ1 nieparzysta. Zatem
sgn(i) = 1, sgn(σ1 ) = −1.
Wtedy wprost z definicji mamy:
sgn(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) =
det(A) =
σ∈S2
sgn(i)a1,i(1) a2,i(2) + sgn(σ1 )a1,σ1 (1) a2,σ1 (2) = a11 a22 − a12 a21 .
Przykład Obliczymy wyznacznik macierzy 3 × 3:


a11 a12 a13

A =  a21 a22 a23 

a31 a32 a33
1
sgn jest skrótem łacińskiego słowa signum (znak)
1
Zbiór permutacji S3 składa się z sześciu permutacji:
σ0 =
σ3 =
1
1
1
2
2
2
2
1
3
3
3
3
, σ1 =
, σ4 =
1
1
1
2
2
3
2
3
3
2
3
1
, σ2 =
,
σ5 =
1
3
1
3
2
2
2
1
3
1
3
2
,
Permutacje σ0 , σ4 , σ5 są parzyste, a permutacje σ1 , σ2 , σ3 nieparzyste. Mamy
więc:
sgn(σ0 ) = sgn(σ4 ) = sgn(σ5 ) = 1
sgn(σ1 ) = sgn(σ2 ) = sgn(σ3 ) = −1
Z definicji mamy:
sgn(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) a3,σ(3) =
det(A) =
σ∈S3
sgn(σ0 )a1,σ0 (1) a2,σ0 (2) a3,σ0 (3) + sgn(σ1 )a1,σ1 (1) a2,σ1 (2) a3,σ1 (3) +
sgn(σ2 )a1,σ2 (1) a2,σ2 (2) a3,σ2 (3) + sgn(σ3 )a1,σ3 (1) a2,σ3 (2) a3,σ3 (3) +
sgn(σ4 )a1,σ4 (1) a2,σ4 (2) a3,σ4 (3) + sgn(σ5 )a1,σ5 (1) a2,σ5 (2) a3,σ5 (3) =
a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 .
Zadanie Obliczyć z definicji wyznacznik:
1
5
3
3
2
0
0
2
1
0
0
4
4
2
6
5
Rozwiązanie Wyznacznik ten jest sumą 4! = 24 bloków składających się z
iloczynu czterech elementów po jednym z każdego wiersza i każdej kolumny.
Można zauważyć, że większość z tych bloków będzie zawierała zero więc nie
wpływa na wyznacznik. Niezerowe bloki to:
a12 a21 a34 a43 , a12 a24 a31 a43 , a13 a21 a34 a42 , a13 a24 a31 a42
Musimy jeszcze ustalić parzystość permutacji występujących w tych blokach
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
,
,
,
, Pierwsza
2 1 4 3
2 4 1 3
3 1 4 2
3 4 1 2
i ostatnia są parzyste, natomiast dwie środkowe są nieparzyste, zatem wyznacznik ten jest równy:
a12 a21 a34 a43 − a12 a24 a31 a43 − a13 a21 a34 a42 + a13 a24 a31 a42 =
2·5·6·4−2·2·3·4−1·5·6·2+1·2·3·2
2
Własności wyznaczników
Twierdzenie 1 Dla dowolnej macierzy kwadratowej A mamy:
det A = det AT
Dowód Wynika to z faktu, że prawdziwa jest następująca równość:
sgn(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) · · · an,σ(n) =
σ∈Sn
sgn(σ)aσ(1),1 aσ(2),2 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz