wartości i wektory własne - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 819
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
wartości i wektory własne - omówienie - strona 1 wartości i wektory własne - omówienie - strona 2 wartości i wektory własne - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy).
Diagonalizacja macierzy.
Def. 1
Z: (X, K,+, ⋅) – przestrzeń wektorowa
f: X X
– endomorfizm
λ∈K nazywamy wartością własną endomorfizmu f :⇔ istnieje v ∈ X , v ≠ 0
taki, że f(v)=λv
Jeżeli λ jest wartością własną endomorfizmu f to każdy wektor u ∈ X , taki
że f(u)=λu nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f odpowiadającym
wartości własnej λ.
Λ - zbiór wartości własnych nazywamy widmem endomorfizmu.
X λ := {v ∈ X:f(x)=λv}
Twierdzenie 1
Z: (X, K,+, ⋅) – przestrzeń wektorowa
f: X X – endomorfizm
λ - wartość własna endomorfizmu
T: (Xλ, K,+, ⋅) – jest podprzestrzenią przestrzeni X
Def. 2
(Xλ, K,+, ⋅) – nazywamy przestrzenią własną endomorfizmu f.
Wniosek: dimXλ≥1
Przykład 1
Z: (C∞ , , +, ⋅)
(C∞ , , +, ⋅) -zbiór funkcji różniczkowalnych
D: C∞ C∞
D(f) = f’
λ∈
f: f(x) = a ⋅ eλx
a – ustalona liczba
(D(f))(x)
f’(x) = λaeλx
(D(f))(x) = λaeλx=λ⋅f(x)
Np. Dla λ=3: X3={f: f(x) = a ⋅ e3x, a∈
}
Twierdzenie 2
Z: (X, K,+, ⋅) – przestrzeń wektorowa
f: X X – endomorfizm
T: Jeden niezerowy wektor własny endomorfizmu odpowiada dokładnie
jednej wartości własnej.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
Twierdzenie 3
Z: (X, K,+, ⋅) – przestrzeń wektorowa
f: X X – endomorfizm
dimX=n
B=(e1 , e2 ,..., en ) - baza
A=Mf (B,B)
T: λ∈K jest wartością własną endomorfizmu ⇔ det(A - λI)=0
Def. 3
Z: An×n=[aij] – macierz
λ - nazywamy wartością własną macierzy A :⇔ det(A - λI)=0.
Jeśli λ jest wartością własną macierzy A to każdy wektor x: (A-λ I) ⋅ x = 0
nazywamy wektorem własnym macierzy A dopowiadającym wartości
własnej λ macierzy A.
Wniosek:
Np. f: Kn→Kn
1. A=Mf (B, B)
λ - jest wartością własną macierzy A ⇔ jest wartością własną
endomorfizmu f.
2. x - jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ
macierzy A ⇔ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości
własnej λ endomorfizmu.
Uwaga
Ze względu na ścisły związek między λ endomorfizmu, a λ macierzy
wszystkie twierdzenia udowodnione dla endomorfizmu są prawdziwe dla
macierzy.
Def. 4
1 0
a1n 

 − λ 0 1


0
a nn 


0
= ±λ+β n-1λ n-1 +β n-2 λ n-2 +...+β1λ+β 0 = ∆ (λ )
 a11
det(A-λI)=det( 

a n1

0
1
0
a12
a1n 
0
a11 − λ
 a


a 22 − λ
=
 ) = det  21


0



a nn-1 a nn − λ 
1
 a n1
∆(λ ) - nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A
(endomorfizmu).
Wartości własne macierzy (endomorfizmu) są pierwiastkami jego
wielomianu charakterystycznego.
Uwaga
Wartości własne endomorfizmu nie zależą od wyboru bazy przestrzeni (są
niezmiennikami endomorfizmu).
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
Przykład
1 2
A=  0 2

-2 -2

2
0
0

-1

f: R 3 → R 3
1-λ
2
0
∆(λ ) = det(A-λ I)= 0
2-λ
0
-2
-2
(baza kanoniczna)
-1-λ
= (2 − λ )(1 − λ )(−1 − λ )
∆(λ ) = 0 ⇔ λ1 = 2 ∨ λ2 = 1 ∨ λ3 = −1
k1 =1
k 2 =1
k 3 =1
Szukamy przestrzeni własnych.
Dla λ=2
 -1 2 0   x1   0 
 0 0 0  ⋅  x  = 0

  2  
 -2 -2 -3  x 3   0 

    

(…)

… diagonalizowalną jeżeli jest
podobna do pewnej macierzy diagonalnej (∃P – nieosobliwa ∧ ∃D –
diagonalna takie, że: D=P-1 ⋅ A ⋅ P)
Wniosek:
A=Mf(B,B)
f - endomorfizm
1. Z def. 2 wynika, że A jest diagonalizowalna ⇔ f jest endomorfizmem
diagonalizowalnym.
2. Ze względu na ścisły związek macierzy i endomorfizmów twierdzenia
dotyczące twierdzenia dotyczące diagonalizwalności endomorfizmu są
prawdziwe dla macierzy…
… 0
a1n 

 − λ 0 1


0
a nn 


0
= ±λ+β n-1λ n-1 +β n-2 λ n-2 +...+β1λ+β 0 = ∆ (λ )
 a11
det(A-λI)=det( 

a n1

0
1
0
a12
a1n 
0
a11 − λ
 a


a 22 − λ
=
 ) = det  21


0



a nn-1 a nn − λ 
1
 a n1
∆(λ ) - nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A
(endomorfizmu).
Wartości własne macierzy (endomorfizmu) są pierwiastkami jego
wielomianu charakterystycznego…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz