To tylko jedna z 17 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
"Matematyka: przyłapywanie nieskooczoności na gorącym uczynku." Stefan Napierski Def. Mówimy, że macierze A i B są podobne ⟺ istnieje macierz nieosobliwa C ( tzn. det C≠0 ) taka, że A=C-1∙B∙C Np. Zbadaj, czy macierze są podobne = 1 2 3 2 0 −1 3 −1 3 = 1 3 0 3 1 1 0 1 5 szukamy macierzy nieosobliwej C, aby CA=BC, niech = + 2 + 3 = + 3 2 − = + 3 3 − + 3 = + 3 + 2 + 3 = 3 + + 2 − = 3 + + 3 − + 3 = 3 + + + 2 + 3 = + 5 2 − = + 5 3 − + 3 = + 5 2 + 3 − 3 = 0 2 − − − 3 = 0 3 − + 2 − 3 = 0 −3 + 2 + 3 − = 0 −3 + 2 − − − = 0 −3 + 3 − + 2 − = 0 − − 4 + 2 + 3 = 0 − + 2 − 5 − = 0 − + 3 − − 2 = 0 pytamy, czy istnieje niezerowe rozwiązanie detA 0 układ ma tylko rozwiązanie zerowe nie istnieje nieosobliwa macierz C 0 2 3 2 −1 −1 3 −3 0 0 0 0 0 −1 0 −3 0 0 0 0 2 0 0 −3 0 0 0 −3 0 0 0 0 −3 0 0 −3 0 2 3 −1 0 0 2 −1 −1 0 −1 0 3 −1 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −4 2 3 0 −1 0 2 −5 −1 0 0 −1 3 −1 −2 1 1 1 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 −3 0 −1 2 −3 0 −1 −1 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 10 0 −1 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 −1 0 0 −5 2 3 −1 0 0 2 −5 −1 128 1 0 −1 −1 −2 56 686 −1 Tw. Jeżeli f ∈ ℒ(V, V) (endomorfizm) i B jest bazą V, to Mf (B,B) jest podobna do macierzy A ⟺ istnieje baza B' przestrzeni V, taka że A=Mf (B’,B’) Def. Niech f ∈ ℒ(V, V) i V jest przestrzenią wektorową nad K. Mówimy, że ∈ K jest wartością własną endomorfizmu f ⟺ istnieje x ∈ V\ {0} takie, że f(x)= ∙x Zbiór wszystkich wartości własnych f nazywamy widmem f (ozn. Wf). Wektor x ∈ V\ {0} taki, że f(x)= x nazywamy wektorem własnym f odpowiadającym wartości Tw. Jeżeli f ∈ ℒ V, V , to: 1. Jeden wektor własny odpowiada dokładnie jednej wartości własnej 2. Zbiór V={ x∈V: f(x)=x } jest podprzestrzenią przestrzeni V
(…)
… niezależne.
Wniosek:
Jeżeli f∈ ℒ(V,V) ma n różnych wartości własnych (n = dimV), to istnieje baza V złożona
z wektorów własnych f.
Def. Mówimy, że f ∈ ℒ(V,V) jest diagonalizowalny istnieje baza przestrzeni V, w której
Mf(B,B) jest macierzą diagonalną.
Tw.
Endomorfizm
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)