"Matematyka - to bardziej czynnośd niż nauka." Luitzen Egbertus Jan Brouwer Def: Jeżeli V, U są przestrzeniami wektorowymi nad K i : → , to mówimy, że f jest liniowa ⇔ ∀1, 2 ∈ ∀, ∈ : 1 + 2 = 1 + (2) Wniosek: Jeżeli W jest podprzestrzenią V, to = * : ∈ + jest podprzestrzenią U. TW: Zbiór ℒ , = *: → ∶ − + jest podprzestrzenią wektorową. Uwaga: Jeżeli U=K, to mówimy, że odwzorowanie liniowe : → jest formą liniową. TW: Własności odwzorowao liniowych Jeżeli ∈ ℒ(, ), to: 1. 0 = 0 2. − = −() 3. ( ) = () =1 =1 Np. Zbadaj, czy są liniowe 1. : ℝ3 → ℝ2 , , = (3 − 2, + ) jest liniowe 1, 1, 1 + 2, 2, 2 = 1 + 2, 1 + 2, 1 + 2 = = 3 1 + 2 − 2 1 + 2 , 1 + 2 + 1 + 2 = = 31 − 21 + 32 − 22, 1 + 1 + 2 + 2 = = 31 − 21, 1 + 1 + 32 − 22, 2 + 2 = 1, 1, 1 + (2, 2, 2) 2. : ∁( 0,1 ) → ℝ = 1 0 jest liniowe 1 + 2 = (1 1 0 + 2) = 1 1 0 + 2 1 0 = 1 + (2) 3. : ℝ2 → ℝ , = ∙ + 1 nie jest liniowe 1, 1 + 2, 2 = 1 + 2, 1 + 2 = 1 + 2 1 + 2 + 1 = = 211 + 12 + 21 + 222 + 1 11 + 22 = 11 + + 22 + 4. ƒ: 3 2, ƒ(x1,x2,x3)=(2x1 – x2, x3 + 3x1) jest liniowe α,β , a,b 3 ƒ(αa+ βb)= ƒ(α(a1,a2,a3)+ β(b1,b2,b3))= ƒ((αa1+ βb1, αa2+ βb2, αa3+ βb3))= (2∙ (αa1+ βb1)-( αa2+ βb2), (αa3+ βb3)+3(αa1+ βb1)=(2αa1- αa2+2 βb1- βb2, αa3+3αa1+ βb3+3βb1)= (2αa1- αa2, αa3+3αa1)+(2 βb1- βb2, βb3+3βb1)= α(2a1-a2,a3+3a1)+ β(2b1-b2,b3+3b1)= α ƒ(a1,a2,a3)+ β ƒ(b1,b2,b3)= α ƒ(a)+ β ƒ(b) 5. ƒ:3 2, ƒ(x1,x2,x3)=( x1 ∙ x2, x3 - 3x1) nie jest liniowe α,β , a,b 3 ƒ (αa+ βb)= ƒ (αa1+ βb1, αa2+ βb2, αa3+ βb3)=(( αa1+ βb1)( αa2+ βb2), αa3+ βb3-1)= ( α2a1a2+ αβ(a1b2+b1a2)+ β2b1b2, αa3+ βb3-1) α ƒ(a)+ β ƒ(b)=( αa1a2, αa3 –α)+( βb1b2 , βb3- β)=( αa1a2+ βb1b2 , αa3+ βb3- α-β) L≠P – odwzorowanie nie jest liniowe 6. ƒ:2[x] [x+ ƒ(w)=w' jest liniowe α,β w,v 2[x] ƒ (αw+ βv)=( αw+ βv) '=( αw)'+( βv) '= αw'+ βv'=α ƒ(w)+ β ƒ(v) Def. Jeżeli ∈ ℒ(, ), to: jądrem odwzorowania f nazywamy zbiór = * ∈ ∶ = 0+.
(…)
…(w) jest wielomianem stopnia 3-go np. wielomian stopnia 4-go nie jest
wartością funkcji f Imf[x]
3. ƒ: 22
ƒ(x1,x2)=(2x1+x2,x1-x2)
Kerƒ = {(x1,x2): (2x1+x2,x1-x2)=(0,0) } = {(0,0)}
f jest monomorfizmem
2x1+x2=0
2 1
= −3 x1,x2 = 0
1−x2=0
x
1 −1
Zbiór wartości ƒ=Imƒ={(2x1+x2,x1-x2): x1,x2 }= {(x,y): x,y } = 2 = U f jest epimorfizmem
2x1+x2=
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)