"Matematycy są jak zakochani. Podaruj takiemu najskromniejszą przesłankę, a uczepi się jej i wyprowadzi z tego wnioski, które będziesz musiał zaakceptowad." Bernard le Bovier de Fontanelle Tw. Jeżeli : × → jest formą dwuliniową, to istnieje AM(n) taka, że ( = (), B – baza ) Np. Napisz wzór formy dwuliniowej f(x,y), która w bazie B= *(-1,1,1), (1,2,-1), (0,1,2)] ma macierz (B, B)= −1 3 2 1 1 −1 2 −1 3 niech x= (x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3 ) = −1 1 0 1 2 1 1 −1 2 ∙ 1 2 3 =(-x1+x2,x1+2x2+x3, x1-x2+2x3) = −1 1 0 1 2 1 1 −1 2 ∙ 1 2 3 =(-y1+y2,y1+2y2+y3,y1-y2+2y3) f(x,y)= ∘ −1 3 2 1 1 −1 2 −1 3 ∙ =(-x1+x2,x1+2x2+x3, x1-x2+2x3)∘(6y1+3y2+7y3, -y1+4y2-y3, -3y2+5y3) =(-x1+x2)(6y1+3y2+7y3)+(x1+2x2+x3)(-y1+4y2-y3)+(x1-x2+2x3)(-3y2+5y3)= = -7x1y1-2x1y2-3x1y3+4x2y1+14x2y2-x3y1-2x3y2+9x3y3 Wniosek: Jeżeli () jest symetryczna, to y x A y A x y x f T T T ) , ( y x B M y B M x y x f T f T f ) ( ) ( ) , ( Tw. Wzór , = () ∘ ustala w przestrzeni wzajemną odpowiedniośd pomiędzy formami dwuliniowymi : × → , a odwzorowaniami liniowymi : → . Np. Wyznacz odwzorowanie liniowe odpowiadające formie , = 13 − 222 weźmy bazę kanoniczną w 3 = 0 0 1 0 −2 0 0 0 0 = ∙ = 0 0 1 0 −2 0 0 0 0 ∙ 1 2 3 = (3, −22, 0) zauważmy, że , = Def. Jeżeli w pewnej bazie przestrzeni forma kwadratowa : → ma postad = ()2
(…)
….
Jeżeli A jest symetryczną macierzą rzeczywistą, to wartości własne A są rzeczywiste i wektory
własne odpowiadające różnym wartością własnym są ortogonalne.
Wniosek:
1. W
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)