"Celem obliczeo nie są same liczby, lecz ich zrozumienie." Richard Wesley Hamming Def. Przestrzenią afiniczną nazywamy strukturę (X,V,+), gdzie X jest niepustym zbiorem (punktów), V jest przestrzenią wektorową (wektorów swobodnych), +: × → taką że: 1. ∀, ∈ ∃ ∈ : + = 2. ∀ ∈ : + 0 = 3. ∀ ∈ ∀, ∈ : + + = + + 4. ∀ ∈ ∀, ∈ : + = + ⇒ = Np. Przestrzeo (, , +) jest przestrzenią afiniczną Definicja: Wektorem wodzącym punktu B względem punktu A nazywamy taki wektor że = + . Oznaczamy go = − = Tw. własności przestrzeni afinicznej Jeżeli (X,V,+) jest przestrzenią afiniczną, to 1. ∀ ∈ : = 0 2. ∀, ∈ : − = () 3. ∀, , ∈ : + + = 0 4. ∀, , ∈ : = + 5. ∀, ∈ ∀ ∈ : + = + ⇒ = 6. ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ : = () Def. Zbiór Y X nazywamy podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ( X, V, + ) istnieje podprzestrzeo wektorowa W przestrzeni V taka, że ∀A, B ∈ Y: rA B ∈ W Def. Niech B=(b1, … , bn) będzie bazą przestrzeni V oraz O ∈ X. Mówimy, że układ (O,B ) jest układem współrzędnych w przestrzeni afinicznej (X, Y, + ). Def. Współrzędnymi punktu A w układzie (O,B) nazywamy współrzędne wektora w bazie B = aibi n i=1 Wniosek: 1. ∀A ∈ X: A = O + aibi n i=1 ai są współrzędnymi punktu A w układzie (0, B) 2. O = 0 ∙ bi n i=1 Def. Mówimy, że przestrzeo afiniczna X jest n-wymiarowa dim V = n Każdą 1-wymiarową podprzestrzeo afiniczną nazywamy prostą. Każdą 2-wymiarową podprzestrzeo afiniczną nazywamy płaszczyzną. Def. Mówimy, że układ współrzędnych (0,B) jest kartezjaoski baza B jest ortonormalna Np. Sprawdź, czy zbiór Y jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni (3, E3, +): 1. Y={ (y1,y2,y3): 3y1 + y2 – 2y3 + 4 = 0 } wybierzmy układ współrzędnych ( (0,0,0), B-baza kanoniczna ) oraz A,C Y r0 A = aibi 3 i=1 , r0 C = cibi 3 i=1 3a 1+a2−2a3+ 4 = 0 3c1 + c2 −2c3+ 4= 0 3(c1-a1) + (c2-a2) - 2(c3-a3) = 0 rA C = r0 C + rA 0 = r0 C − r0 A = ci − ai bi 3 i=1 rA C ∈ W={ (x1, x2, x3): 3x1 + x2 - 2x3 = 0 } W jest podprzestrzenią 3 Y jest podprzestrzenią X
(…)
… = αx1×y + βx2×y
4. wektory x,y E3 \{0} są równoległe ⇔ x×y=0
x2
y2
y
x
Np.
1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez A=(2,-1,1) i prostopadłej do prostej
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)