Wykład 3 Struktury algebraiczne III. Struktury algebraiczne Strukturą algebraiczną nazywamy zbiór wraz z pewnymi działaniami w tym zbiorze. Strukturę algebraiczną zapisujemy wymieniając zbiór oraz działania np. (N, +, ·) jest strukturą algebraiczną złożoną z N i dwóch działań dodawania i mnoże...
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja 1. Układ równań liniowych to następujący układ: (1) a11x1 + a12x2 + … + a1mxm = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2mxm = b2 ………………………………………………. ………………………………………………. an1x1 + an2x2 + … + anmxm = bn aij, bi – ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α1 , α2 , . . . , αn , β ∈ K. Równanie: α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β z niewiadomymi x1 , x2 , . . . , xn nazywamy
Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy). Diagonalizacja macierzy. Def. 1 Z: (X, K,+, ⋅) – przestrzeń wektorowa f: X X – endomorfizm λ∈K nazywamy wartością własną endomorfizmu f :⇔ istnieje v ∈ X , v ≠ 0 taki, że f(v)=λv Je...
Wektory główne endomorfizmu (macierzy). Postać Jordana. Definicja 1. An×n Wielomian W ( λ ) = am λ m + am −1λ m −1 + ... + a1λ + a0 W ( λ ) nazywamy wielomianem anulującym macierzy A :⇔ W ( A) = am Am + am −1 Am −1 + ... + a1 A + a0 ⋅ I =...
Wykład 10 Wielomiany cd. Niech f (x), g(x) ∈ K[x] będą wielomianami nad ciałem K. Wielomian d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f (x) i g(x) jeśli: 1. d(x) jest unormowany, 2. d(x)|f (x) i d(x)|g(x), 3. jeśli ...
Wykład 7 Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) = f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy: f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x) Przykład (2x + 1)|(6x2 − x − 2). Własno...
Wykład 8 Zadanie Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 4 − (2 − i)4 = 0. Rozwiązanie Z twierdzenia o pierwiastkowaniu liczb zespolonych wynika, że równanie to ma dokładnie cztery rozwiązania (są to czwarte pierwiastki z liczby (2 − i)4 ). Jednym z rozwiązań jest liczba 2 − i. Zgodnie z twi...
Wykład 9 Wielomiany Element a ∈ K nazywamy t-krotnym pierwiastkiem wielomianu f (x) jeśli (x − a)t |f (x) i (x − a)t+1 f (x). Jeśli krotność pierwiastka jest większa od 1 to mówimy, że pierwiastek jest wielokrotny. Pochodną wielomianu f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ K[x] nazy...
Wykład 3 Twierdzenie 1 (Steinitz) Jeśli układ v1 , v2 , . . . , vn jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K i układ wektorów u1 , u2 , . . . , um jest układem wektorów liniowo niezależnych w V to: (i) m n, (ii) jeśli m = n to u1...
