Wykład 5 Pierścienie cd. Twierdzenie 1 Jeśli struktura (P, +, ·) jest pierścieniem to każde równanie a + x = b ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dowód Tym rozwiązaniem jest element x = b − a. Twierdzenie 2 Jeśli element a jest odwracalny w pierścieniu P to każde równanie ax = b i ya = b ma dokł...
Wykład 6 W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów jako an = a · a · · · a. Możemy również zdefiniować potęgę a0 jako 1P (jeśli P n× posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych potęgowanie ma następujące własności: (1) an+m = an · am . (2) anm =...
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n ∈ Z. Jeśli n 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r 0, wtedy w zbiorze Zn możemy określić działania +n , ·n w następujący sposób: a +n b = (a + b)n a ·n b = (a · b)n a więc sumę i il...
Wykład 1 Pojęcia wstępne Będziemy używać, następujących oznaczeń: N = {0, 1, 2, 3, . . .}-zbiór liczb naturalnych, N∗ = N \ {0}, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}-zbiór liczb całkowitych, Q-zbiór
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K, ⊕, ⊗) ⊕:X×X→X ⊗:K×X→X X ≠ ∅, K - ciało (⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X) (⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X) Strukturę (X, K, ⊕, ⊗) nazywamy przestrzenią wektorową :⇔ 1) Struktura (X, ⊕) jest grupą abelową 2) ∀x,y ∈ X ∀α ∈ K: α ⊗ (x ⊕...
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) Rzeczywiście U ∩ W jest podprzetrzenią przestrzeni U i W , a więc U ∩ W jest skończenie wymiarowa. Przestrzeń U ∩ W posiada, więc skończo...
Wykład 2 Niech V będzie przestrzenią liniową i niech U , W będą podprzestrzeniami V wtedy będziemy mówić, że V jest sumą prostą przestrzeni U i V jeśli: 1. V = U + W , 2. U ∩ W = {0}, i będziemy używać zapisu: V = U ⊕ W . Przykład...
Wykład 1 Przestrzenie liniowe W geometrii analitycznej w przestrzeni R3 operowaliśmy wektorami. W zbiorze tych wektorów wprowadziliśmy dwa działania: (x, y, z) + (x1 , y1 , z1 ) = (x + x1 , y + y1 , z + z1 ), k(x, y, z) = (kx, k...
Wykład 8 Wzory na rozwiązywanie równań stopnia 2, 3, 4 w ciele C Wszystkie rozważane tu równania mają współczynniki zespolone. Jeśli rozważamy równanie az 2 + bz + c = 0 to znamy algorytm rozwiązywania tego równania. Rozważmy teraz równanie stopnia 3: az 3 + bz 2 + cz + d = 0. Pokażemy jak roz...
Wykład 8 Rzutem ortogonalnym wektora u na wektor v nazywamy wektor uv ∈ Lin(v) taki, że u − uv ⊥v. Twierdzenie 1 W każdej przestrzeni euklidesowej dla dowolnych wektorów u, v istnieje dokładnie jeden rzut wektora u na wektor v. Dowód Jeśli u = 0 lub v = 0 to twierdzenie jest oczywiste. Niech u...
