EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Definicja 1 ( n , , +, ⋅ ) u = ( x1 , x2 ,..., xn ) ( u / v ) := x y + x y 1 1 2 2 v = ( y1 , y2 ,..., yn ) + ... + xn yn - nazywamy iloczynem skalarnym Możemy go również oznaczać w następujący sposób: ( u / v ) := u v Definic...
Wykład 9 Zadanie Zbadać, czy forma: 1 2 3 x1 2 5 2 x2 g(x1 , x2 , x3 ) = [x1 , x2 , x3 ] 3 2 0 x3 jest dodatnio określona. Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc wyznaczniki: G1 = 1 1 2 G2 = =10 2 5 1 2 3 G3 = 2 5 2 = −25 (...
Wykład 16 Geometria analityczna cd. Podział linii stopnia drugiego Każdą linię przedstawioną równaniem: ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1) gdzie a, b, c, d, e, f ∈ R nazywamy linią stopnia drugiego. Każde równanie stopn...
Wykład 17 Geometria analityczna cd. Geometria analityczna w przestrzeni R3 Podobnie jak w przypadku geometrii na płaszczyźnie będziemy mówić o układzie współrzędnych. Układ taki powstaje przez obranie punktu 0 i wybranie trzech osi wzajemnie prostopadłych 0x, 0y, 0z. Istnieją dwie klasy układ...
Wykład 19 Geometria analityczna cd. Równanie płaszczyzny → Niech P0 (x0 , y0 , z0 ) będzie punktem w przestrzeni i niech − = [A, B, C] bęn dzie dowolnym wektorem. Wtedy płaszczyznę określamy jako zbiór wszyst−→ − kich punktów Q(x, y, z) takich, że wektor P0 Q jest prostopadły do wekto→ ra −...
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie Ortokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego O zwanego początkiem układu współrzędnych i dwóch pros...
Wykład 11 Grupy Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i działania binarnego ◦, które spełnia własności: (i) Działanie ◦ jest łączne, czyli ∀a, b, c ∈ G a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c. (ii) Działanie ◦ posiada e...
Wykład 10 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Niepusty podzbiór I ⊆ P nazywamy ideałem pierścienia P jeśli spełnione są następujące warunki: (i) ∀a, b ∈ I a − b ∈ I. (ii) ∀p ∈ P ∀a ∈ I pa ∈ I, ap ∈ I Przykłady 1. Każdy zbiór nZ jest ideałem pierścienia Z. 2. Zbiór {0, 2, 4} jest ideałem pie...
Wykład 6 Iloczyn skalarny Niech K będzie ciałem liczb rzeczywistych R lub ciałem liczb zespolonych C. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, wtedy funkcję: S :V ×V →K nazywamy iloczynem skalarnym jeśli ∀u, v, w ∈ V, k ∈ ...
Wykład 9 Interpolacja wielomianowa Niech K będzie pewnym ciałem i niech a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn będą pewnymi elementami ciała K (ai = aj dla i = j). Zadanie jest następujące. Chcemy znaleźć wielomian f (x) ∈ K[x], taki że f (a1 ) = b1 , f (a2 ) = b2 , . . . , f (an ) = bn ...
