geometria analityczna - Wykład 16

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 413
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
geometria analityczna - Wykład 16 - strona 1 geometria analityczna - Wykład 16 - strona 2 geometria analityczna - Wykład 16 - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 16
Geometria analityczna
Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie
Ortokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu
początkowego O zwanego początkiem układu współrzędnych i dwóch prostych skierowanych, wzajemnie prostopadłych, przecinających się w punkcie
O:
OY T
E OX
O
Układem współrzędnych nazywamy uporządkowaną parę (OX, OY ),
gdzie OX i OY są osiami współrzędnych.
Odległością dwóch punktów P1 i P2 nazywamy długość odcinka P1 P2 :
OY T
P2 (x2 , y2 )
 
 
 
P1 (x1 , y1 ) E
OX
O
Odległość tych punktów wyraża się wzorem:
|P1 P2 | =
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów (P1 , P2 ) na płaszczyź−→

nie i oznaczamy go przez P1 P2 :
1
OY T
P2

 
 
P1  
E OX
O
Punkt P1 nazywamy początkiem wektora, a punkt P2 końcem. Odległość


|P1 P2 | nazywamy długością wektora. Wektor P P nazywamy wektorem zero−→

wym. Każdą prostą równoległą do wektora P1 P2 nazywamy kierunkiem tego
wektora. Wektory nazywamy równoległymi (kolinearnymi) jeśli mają rów−→ −→


noległe kierunki. Mówimy, że dwa wektory kolinearne P1 P2 , P3 P4 mają taki
sam zwrot gdy odcinki P1 P4 , P2 P3 mają punkt wspólny w przeciwnym razie
mówimy, że wektory mają zwrot przeciwny.
−→

Dla dowolnych punktów P1 , P2 , P3 wektor P1 P3 nazywamy sumą wektorów
−→ −→


P1 P2 , P2 P3 i piszemy:
−→ −→ −→



P1 P3 = P1 P2 + P2 P3
OY T
P3
s
d
T
d
d P2

 
 
P1  
E OX
O
−→ −→


Wektory P1 P2 , P3 P4 nazywamy równoważnymi, gdy mają taką samą
długość, są kolinearne i mają ten sam zwrot. Będziemy takie wektory uważać
za równe i nazywać je będziemy wektorami swobodnymi. Wektory swobodne będziemy oznaczać małymi literami alfabetu i czasem będziemy używać
strzałek. Każdy wektor swobodny na płaszczyźnie utożsamiać będziemy z
parą liczb rzeczywistych [x, y]. Jeśli P1 (x1 , x2 ) jest początkiem wektora, a
P2 (x2 , y2 ) jego końcem to x = x2 − x1 , y = y2 − y1 . Dowolne dwa wektory
swobodne można dodawać i jeśli a = [xa , ya ], b = [xb , yb ] to:
a + b = [xa + xb , ya , yb ]
2
Dowolny wektor można mnożyć przez liczbę:
αa = α[xa , ya ] = [αxa , αya ]
Zbiór wektorów swobodnych można utożsamiać ze zbiorem R2 .
Stwierdzenie 1 Struktura (R2 , +) jest grupą abelową.
Równoważnie można mówić o grupie abelowej wektorów swobodnych z
dodawaniem wektorów.
Własności mnożenia wektorów przez liczbę
Dla każdych wektorów a, b ∈ R2 , α, β ∈ R mamy:
(i) α(a + b) = αa + αb,
(ii) (α + β)a = αa + βa,
(iii) (αβ)a = α(βa),
(iv) 1a = a.
−→

Długością wektora P1 P2 nazywamy długość odcinka P1 P2 i oznaczamy przez
|P1 P2 |. Jeśli a = [x, y] to
|a| = x2 + y 2
Własności długości wektora
(i) |a + b| |a| + |b|
(ii) |αa| = |α||a|
Dowód Niech a = [x1 , y1 ], b = [x2 , y2 ]. Oznaczmy przez z1 liczbę zespoloną
x1 + y1 i, a przez z2 liczbę x2 + y2 i, wtedy długością wektora a jest moduł z
liczby z1 , długością wektora b moduł z z2 , a długością a + b moduł z z1 + z2 i
punkt (i) wynika z odpowiedniej nierówności dla modułów. Punkt (ii) można

(…)

…, że 2c > 2a, więc mamy c2 −a2 >
0. Jeśli przyjmiemy teraz b2 = c2 − a2 to otrzymamy równanie hiperboli:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Aby narysować wykres hiperboli o powyższym równaniu zauważmy, że dla
y = 0 otrzymujemy x = ±a. Zauważmy również, że nasza krzywa posiada
b
b
dwie asymptoty: y = a x i y = − a x
Podobnie jak dla elipsy możemy rozważać warunki przy których prosta jest
styczna do hiperboli.
Równanie…
…. Stąd mamy: Ax+By+Ax0 +By0 =
0, przyjmując C = Ax0 + By0 otrzymujemy równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0
Równanie to jest wyznaczone przez wektor prostopadły do prostej n = [A, B]
zwany wektorem normalnym tej prostej.
Wzajemne położenie dwóch prostych
Kąt między prostymi równy jest kątowi między wektorami normalnymi.
Więc dwie proste są równoległe gdy ich wektory normalne są równoległe.
Proste:
A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0

(1) równoległe wtedy i tylko wtedy gdy
A1
B1
=
A2
B2
(2) pokrywają się gdy:
A1
B1
C1
=
=
A2
B2
C2
(3) są prostopadłe gdy:
A1 A2 + B1 B2 = 0
5
Przykład Wyznaczymy prostą przechodzącą przez dwa punkty (1, 2) i (3, 4).
Wystarczy wyznaczyć wektor normalny tej prostej, to znaczy wektor prostopadły do wektora [2, 2]. Takim wektorem może być na przykład [−1, 1]. Zatem
równanie naszej prostej jest następujące:
−(x − 1) + (y − 2) = 0
a więc:
−x + y − 1 = 0
Zadanie Wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do −x + 2y + 1 = 0
przechodzącej przez punkt P (1, 2).
Rozwiązanie Wektor normalny szukanej prostej jest prostopadły do wektora
[−1, 2], który jest wektorem normalnym prostej danej, więc może to być na
przykład wektor [2, 1]. Zatem równanie prostej szukanej…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz