Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie Ortokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego O zwanego początkiem układu współrzędnych i dwóch pro- stych skierowanych, wzajemnie prostopadłych, przecinających się w punkcie O : E OX T OY O Układem współrzędnych nazywamy uporządkowaną parę ( OX, OY ), gdzie OX i OY są osiami współrzędnych. Odległością dwóch punktów P 1 i P 2 nazywamy długość odcinka P 1 P 2: E OX T OY O P 1( x 1 , y 1) P 2( x 2 , y 2) Odległość tych punktów wyraża się wzorem: |P 1 P 2 | = ( x 1 − x 2)2 + ( y 1 − y 2)2 Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów ( P 1 , P 2) na płaszczyź- nie i oznaczamy go przez −−→ P 1 P 2: 1 E OX T OY O P 1 P 2 Punkt P 1 nazywamy początkiem wektora, a punkt P 2 końcem. Odległość |P 1 P 2 | nazywamy długością wektora. Wektor −→ P P nazywamy wektorem zero- wym. Każdą prostą równoległą do wektora −−→ P 1 P 2 nazywamy kierunkiem tego wektora. Wektory nazywamy równoległymi (kolinearnymi) jeśli mają rów- noległe kierunki. Mówimy, że dwa wektory kolinearne −−→ P 1 P 2, −−→ P 3 P 4 mają taki sam zwrot gdy odcinki P 1 P 4, P 2 P 3 mają punkt wspólny w przeciwnym razie mówimy, że wektory mają zwrot przeciwny. Dla dowolnych punktów P 1 , P 2 , P 3 wektor −−→ P 1 P 3 nazywamy sumą wektorów −−→ P 1 P 2, −−→ P 2 P 3 i piszemy: −−→ P 1 P 3 = −−→ P 1 P 2 + −−→ P 2 P 3 E OX T OY O P 1 P 2 T P 3 d d d s Wektory −−→ P 1 P 2, −−→ P 3 P 4 nazywamy równoważnymi , gdy mają taką samą długość, są kolinearne i mają ten sam zwrot. Będziemy takie wektory uważać za równe i nazywać je będziemy wektorami swobodnymi . Wektory swobod- ne będziemy oznaczać małymi literami alfabetu i czasem będziemy używać strzałek. Każdy wektor swobodny na płaszczyźnie utożsamiać będziemy z parą liczb rzeczywistych [ x, y ]. Jeśli P 1( x 1 , x 2) jest początkiem wektora, a P 2( x 2 , y 2) jego końcem to x = x 2 − x 1 , y = y 2 − y 1. Dowolne dwa wektory swobodne można dodawać i jeśli a = [ xa, ya ] , b = [ xb, yb ] to: a + b = [ xa + xb, ya, yb ] 2 Dowolny wektor można mnożyć przez liczbę: αa = α [ xa, ya ] = [ αxa, αya ] Zbiór wektorów swobodnych można utożsamiać ze zbiorem R 2. Stwierdzenie 1 Struktura (R 2 , +) jest grupą abelową.
(…)
… P = 1 |P1 P2 × P1 P3 |.
2
2
Obliczmy
i
j
k
−→ −→
−
−
P1 P2 × P1 P3 = −1 −3 −4 = [−2, −2, 2]
0 −2 −2
i
więc
−→ −→
−
−
|P1 P2 × P1 P3 | =
(−2)2 + (−2)2 + 22 =
√
√
12 = 2 3
√
1 √
P = 2 3 = 3.
2
Iloczyn mieszany
Niech a = [xa , ya , za ], b = [xb , yb , zb ], c = [xc , yc , zc ] będą trzema wektorami, wtedy liczbę (a × b) ◦ c nazywamy iloczynem mieszanym wektorów a, b i
c. Iloczyn mieszany można wyznaczyć w następujący sposób:
xa ya za
(a × b) ◦ c = xb yb zb
xc yc zc
Moduł iloczynu mieszanego wektorów a, b i c wyraża objętość równoległościanu zbudowanego na tych wektorach.
Powyższe stwierdzenie oznacza również, że wektory a, b i c są komplanarne
wtedy i tylko wtedy gdy równoległościan zbudowany na tych wektorach ma
objętość równą zero. Zatem wektory a, b i c są komplanarne…
…. Stąd mamy: Ax+By+Ax0 +By0 =
0, przyjmując C = Ax0 + By0 otrzymujemy równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0
Równanie to jest wyznaczone przez wektor prostopadły do prostej n = [A, B]
zwany wektorem normalnym tej prostej.
Wzajemne położenie dwóch prostych
Kąt między prostymi równy jest kątowi między wektorami normalnymi.
Więc dwie proste są równoległe gdy ich wektory normalne są równoległe.
Proste:
A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0
są
(1) równoległe wtedy i tylko wtedy gdy
A1
B1
=
A2
B2
(2) pokrywają się gdy:
A1
B1
C1
=
=
A2
B2
C2
(3) są prostopadłe gdy:
A1 A2 + B1 B2 = 0
5
Przykład Wyznaczymy prostą przechodzącą przez dwa punkty (1, 2) i (3, 4).
Wystarczy wyznaczyć wektor normalny tej prostej, to znaczy wektor prostopadły do wektora [2, 2]. Takim wektorem może być na przykład [−1, 1…
…, że 2c > 2a, więc mamy c2 −a2 >
0. Jeśli przyjmiemy teraz b2 = c2 − a2 to otrzymamy równanie hiperboli:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Aby narysować wykres hiperboli o powyższym równaniu zauważmy, że dla
y = 0 otrzymujemy x = ±a. Zauważmy również, że nasza krzywa posiada
b
b
dwie asymptoty: y = a x i y = − a x
Podobnie jak dla elipsy możemy rozważać warunki przy których prosta jest
styczna do hiperboli.
Równanie…
…
2
Jeśli punkt P (x0 , y0 ) leży na elipsie x2 + y2 = 1 to równanie prostej
a
b
stycznej do tej elipsy w punkcie P wyraża się wzorem
xx0 yy0
+ 2 =1
a2
b
i ponieważ jest spełniony warunek ze stwierdzenia to prosta jest styczna.
Rzeczywiście prosta ta ma punkt wspólny z elipsą (jest nim punkt P ).
Równanie hiperboli
Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów, których moduł różnicy
odległości od dwóch…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)